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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Encontre as raízes da equação [tex]\boxed{(x^{2}-3x-2)^2-3(x^{2}-3x-2)-2-x=0}.[/tex]
Extraído de Lidski.
Solução
Observe que podemos reescrever sucessivamente a equação dada como:
[tex]\qquad (x^{2}-3x-2)^2-3(x^{2}-3x-2)-2-x=0\\
\qquad (x^{2}-3x-2)^2-2(x^{2}-3x-2)-(x^{2}-3x-2)-2-x=0\\
\qquad (x^{2}-3x-2)^2-2(x^{2}-3x-2)-x^{2}+2x=0\\
\qquad (x^{2}-3x-2)^2-2(x^{2}-3x-2)=x^{2}-2x.[/tex]
Adicionando [tex]1[/tex] a ambos os lados da última igualdade, segue que:
[tex]\qquad (x^{2}-3x-2)^2-2(x^{2}-3x-2)+1=x^{2}-2x+1\\
\qquad \left[(x^{2}-3x-2)-1\right]^{2}=(x-1)^{2}\\
\qquad (x^{2}-3x-3)^{2}=(x-1)^{2}.[/tex]
Assim, obtemos as duas equações abaixo
[tex]\qquad \boxed{x^{2}-3x-3=x-1}~[/tex] ; [tex]~\boxed{x^{2}-3x-3=-(x-1)}[/tex]
que podem ser reescritas, respectivamente, como
[tex]\qquad \boxed{x^{2}-4x-2=0}~[/tex] ; [tex]~\boxed{x^{2}-2x-4=0}.[/tex]
Vamos resolver essas duas equações:
|
[tex]\qquad x^{2}-4x-2=0 \qquad \\ \qquad x=\dfrac{4 \pm \sqrt{16+8}}{2}\\ \qquad x=\dfrac{4 \pm \sqrt{24}}{2}\\ \qquad x=\dfrac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2}\\ \qquad x=2 \pm \sqrt{6}.[/tex] |
[tex]\qquad x^{2}-2x-4=0\\ \qquad x=\dfrac{2 \pm \sqrt{4+16}}{2}\\ \qquad x=\dfrac{2 \pm \sqrt{20}}{2}\\ \qquad x=\dfrac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2}\\ \qquad x=1 \pm \sqrt{5}.[/tex] |
Assim, a equação [tex]x^{2}-4x-2=0[/tex] possui raízes [tex]\boxed{2+\sqrt{6}}~[/tex] e [tex]~\boxed{2-\sqrt{6}}.[/tex]
Já a equação [tex]x^{2}-2x-4=0[/tex] possui raízes [tex]\boxed{1+\sqrt{5}}~[/tex] e [tex]~\boxed{1-\sqrt{5}}.[/tex]
Portanto, temos o seguinte conjunto solução para a equação inicial:
[tex]\qquad \qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\left\{2+\sqrt{6},\, 2-\sqrt{6},\, 1+\sqrt{5},\, 1-\sqrt{5}\right\}$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.