✏ Link do problema para dispositivos da Apple.
Problema
(Indicado a partir da 2ª série do E. M.)
No próximo fim de semana, [tex]7[/tex] moças e [tex]5[/tex] rapazes vão ao ginásio de esportes da cidade onde moram para disputarem uma partida de vôlei.
De quantas maneiras eles podem ser divididos em [tex]2[/tex] times de [tex]6[/tex] jogadores cada, de modo que os rapazes não fiquem todos no mesmo time?
Adaptado de Problemas Resolvidos de Combinatória.
Lembretes e notações
Combinação simples: Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto é escolhê-los levando-se em consideração apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos é denominado uma Combinação simples. Particularmente, quando escolhemos [tex]r[/tex] dentre [tex]n[/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combinação simples de [tex]n[/tex] elementos tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex].
A quantidade desse tipo de agrupamentos é denotada por [tex]C_{n,r}[/tex] ou [tex]C_{n}^{r}[/tex] e é assim definida:
[tex]\qquad C_{n,r}=C_{n}^{r}=\dfrac{n!}{(n-r)! \cdot r!}[/tex], com [tex]n, r \in \mathbb{N}[/tex] e [tex]r \leq n[/tex].
Solução
- Inicialmente, vamos calcular de quantos modos podemos separar todas as [tex]12[/tex] pessoas em [tex]2[/tex] grupos de [tex]6[/tex] cada. Para um dos times, pode-se escolher os [tex]6[/tex] integrantes dentre os [tex]12[/tex], o que pode ser feito de [tex]C_{12}^{6}=924[/tex] maneiras.
- Note agora que ao escolher um dos times, automaticamente já estamos determinando o outro. Como não há distinção entre os times, teremos [tex]\dfrac{924}{2}=462[/tex] maneiras de dividi-los em [tex]2[/tex] grupos de [tex]6[/tex] jogadores.
- Nessa última contagem, há os casos em que os rapazes ficam no mesmo time. Mas note que se os [tex]5[/tex] rapazes já estão em um mesmo time, há apenas [tex]7[/tex] maneiras de escolher o último integrante. Logo, há [tex]7[/tex] maneiras possíveis de divisões das [tex]12[/tex] pessoas nas quais todos os rapazes ficam num mesmo time.
Portanto, o problema possui [tex]~\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$462-7=455$}~[/tex] soluções.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.