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Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
O que vale mais: toda a água potável do mundo ou todo o ouro do mundo?
Estimaremos esses valores nos itens abaixo e responderemos a essa pergunta (é permitido usar uma calculadora!).
a) Segundo o Portal de Tratamento de Água (nov. 2008), há [tex]1\,360\,000\,000\,\text{km}^3[/tex] ([tex]1,36\cdot 10^{9}\,\text{km}^3[/tex] ) de água no mundo, sendo somente [tex]3\%[/tex] potável.
Quantos litros de água potável há no mundo?
b) De acordo com uma reportagem da Super Interessante (jul. 2018), estima-se que o total de ouro extraído em toda a história da humanidade preencha um cubo de aresta [tex]20,4\, \text{m}[/tex]. Sabe-se ainda que as reservas não exploradas correspondem a aproximadamente [tex]50[/tex] mil toneladas (BBC News, out. 2020) .
Considerando que a densidade do ouro é [tex]19,3 \,\text{kg}/l[/tex] à temperatura de [tex] 25^\circ C[/tex], ou seja, que cabem [tex]19,3 \,\text{kg}[/tex] de ouro num recipiente de volume [tex]1[/tex] litro em um dia “quentinho”, determine a massa total de ouro no planeta, em toneladas.
c) Suponha que um litro de água custe um quarto de centavo (ou seja, [tex]4[/tex] litros custam [tex]1[/tex] centavo) e um grama de ouro custe [tex]300[/tex] reais. De acordo com esses dados, o que vale mais: toda a água potável do mundo ou todo o ouro do mundo?
(Adaptado da OPM 2010)
Solução
a) Há cerca de [tex]3\%[/tex] de [tex]1\,360\,000\,000\,\text{km}^3[/tex] de água potável no mundo, ou seja,
[tex]\qquad 0,03\cdot 1\,360\,000\,000=40\,800\,000 =4,08\cdot 10^7 \,\text{km}^3.[/tex]
Sabemos que [tex]1\,\text{l} [/tex] corresponde a [tex]1 \,\text{dm}^3[/tex]. Logo, como [tex]1\,\text{m}=10\,\text{dm}[/tex], então [tex]1\text{m}^3=10^3\,\text{dm}^3=10^3\,l[/tex].
Por outro lado, [tex] 1\,\text{km}=1\,000\,\text{m}=10^3\,\text{m}[/tex], donde [tex]1\,\text{km}^3=(10^3)^3\,\text{m}^3=10^9\,\text{m}^3=10^9\cdot 10^3\,l=10^{12}\,l.[/tex]
Assim, a quantidade de água potável no mundo é de aproximadamente
[tex]\qquad 4,08\cdot 10^7 \,\text{km}^3=4,08\cdot 10^7 \cdot 10^{12}\,l=\fcolorbox{black}{#C7E4EE}{$4,08 \cdot 10^{19} \,l$}\,.[/tex]
b) O volume de um cubo de aresta [tex]20,4\,\text{m}[/tex] é dado por [tex](20,4)^3\,\text{m}^3=8\,489,664\,\text{m}^3[/tex].
Como vimos, [tex]1\,\text{m}^3=10^3l[/tex], então este volume pode ser expresso por [tex]8\,489,664\cdot 10^3\,l[/tex].
Agora, cabem [tex]19,3\, \text{kg} [/tex] de ouro no volume de [tex]1\, l[/tex], donde a massa de ouro contida num cubo de aresta [tex]20,4\,\text{m}[/tex] é dada por:
[tex]\qquad 8\,489,664\cdot 10^3\cdot 19,3=163\,850,5152\cdot 10^3 \,\text{kg}.
[/tex]
Como [tex]1 \, \text{t}=10^3\, \text{kg},[/tex] em toneladas o volume de ouro do planeta é dado por:
[tex]\qquad 163\,850,5152+50\,000=\fcolorbox{black}{#FFEA77}{$213\,850,5152\,\text{t}$}\,.[/tex]
c) Se cada [tex]4[/tex] litros custam [tex]1[/tex] centavo, então [tex]400[/tex] litros de água custam [tex]1[/tex] real. Logo, o valor da água potável do planeta é de:
[tex]\qquad \dfrac{4,08 \cdot 10^{19}}{400}=\dfrac{408}{400}\cdot 10^{17}=\fcolorbox{black}{#C7E4EE}{$ 1,02\cdot 10^{17}$}[/tex] reais.
Admitindo que um grama de ouro custe [tex]300[/tex] reais, [tex]1 \,\text{kg}[/tex] de ouro vale [tex]300\cdot 1000=3\cdot 10^5[/tex] reais. Por sua vez, como [tex]1\,\text{t}=10^3\,\text{kg}[/tex], então [tex]1[/tex] tonelada de ouro vale [tex]3\cdot 10^5\cdot 10^3=3\cdot 10^8[/tex] reais.
Logo, todo o ouro do mundo vale:
[tex]\qquad 213\,850,5152\cdot 3\cdot 10^8\approx \fcolorbox{black}{#FFEA77}{$6,4 \cdot 10^{13}$}[/tex] reais.
De acordo com esses dados, toda a água potável do mundo tem um valor muito maior do que todo o ouro do mundo.
Imagem adaptada de iStock (Acesso em 12/05/23)
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Para aprender mais sobre unidades de medidas e suas relações, consulte a Sala de Atividades: E haja unidades de medida!.