Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
O peso de um elefante é igual ao peso de um mosquito?
Vejamos!
- Sejam [tex]x[/tex] o peso de um elefante e [tex]y[/tex] o de um mosquito.
Chamemos a soma dos dois pesos de [tex]2v[/tex], então [tex]2v=x+y[/tex].
Dessa equação podemos obter outras duas:
[tex]\qquad \qquad x-2v=-y\qquad [/tex] e [tex]\qquad -y+2v=x[/tex].
Multiplicando a primeira por [tex]x[/tex] e a segunda por [tex]-y[/tex] temos:
[tex]\qquad \qquad x^2-2vx=-xy\qquad [/tex] e [tex]\qquad y^2-2vy=-xy[/tex]
o que nos permite concluir que [tex]x^2-2vx=y^2-2vy.[/tex]
Somando [tex]v^2[/tex] em ambos os lados da equação obtemos:
[tex]\qquad \qquad x^2-2vx+v^2 = y^2-2vy+v^2[/tex]
ou ainda
[tex]\qquad \qquad (x-v)^2=(y-v)^2[/tex].
Extraindo a raiz quadrada temos
[tex]\qquad \qquad x-v=y-v [/tex]
ou seja, [tex]x=y[/tex].
Portanto, o peso do elefante é igual ao peso do mosquito.
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O que está errado nessa argumentação?
Justifique sua resposta.
Solução
Um erro foi cometido ao se extrair a raiz quadrada de [tex](y-v)^2[/tex].
Lembre-se de que, no conjunto dos números reais, [tex]\sqrt{k^2}=|k|[/tex]; assim, ao extrairmos a raiz quadrada em
[tex]\qquad \qquad (x-v)^2=(y-v)^2[/tex],
segue, a princípio, que
[tex]\qquad \qquad |x-v|=|y-v| [/tex].
Antes de prosseguirmos, lembre-se de que [tex]2v=x+y[/tex], ou seja, [tex]v=\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}[/tex].
- Agora, note que a diferença [tex]\boxed{x-v\,}[/tex] representa “um elefante” menos “meio elefante e meio mosquito”; portanto, essa diferença é positiva: [tex]\boxed{x-v \gt 0}.[/tex] Com isso, [tex]|x-v|=x-v.[/tex]
- Por outro lado, a diferença [tex]\boxed{y-v\,}[/tex] representa “um mosquito” menos “meio elefante e meio mosquito” e, portanto, é negativa: [tex]\boxed{y-v \lt 0}.[/tex] Dessa forma, [tex]|y-v|= -(y-v).[/tex]
Assim, a sequência correta dos cálculos é a seguinte:
[tex]\qquad (x-v)^2=(y-v)^2\\
\qquad \sqrt{(x-v)^2}=\sqrt{(y-v)^2}\\
\qquad |x-v|=|y-v| [/tex]
[tex]\qquad x-v=-(y-v) \quad [/tex] (e não [tex] x-v=y-v[/tex])
[tex] \qquad x-v=-y+v \\
\qquad x+y=2v.[/tex]
A igualdade final [tex]\boxed{x+y=2v}[/tex] aqui obtida apenas garante a hipótese que fizemos de que [tex]2v[/tex] é a soma dos dois pesos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .
Participou da discussão o Clube Fernandes Lima Alagoas.