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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Dados os números reais não nulos [tex]a,\, b\,[/tex] e [tex]\,c[/tex], determine o valor da expressão
[tex]\qquad \dfrac{a^5+b^5+c^5}{5} \cdot \dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^2 \cdot b^3 \cdot c^2}[/tex],
de forma que se tenha [tex]a^2+b^2+c^2=a \cdot b+a \cdot c+b \cdot c[/tex].
Extraído de Álgebra – Coleção Ciências e Humanas.
Solução
- Inicialmente, tomemos a expressão [tex]\boxed{a^2+b^2+c^2=a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c}[/tex] e vamos multiplicá-la por [tex]2[/tex].
Com isso, obtemos a expressão
[tex]\qquad \qquad 2 \cdot a^2+2 \cdot b^2+2 \cdot c^2=2 \cdot a \cdot b+2 \cdot a \cdot c+2 \cdot b \cdot c\,[/tex]. - Agora, vamos reescrever os termos do primeiro membro desta última equação da seguinte forma:
[tex]\qquad \qquad a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2=2 \cdot a \cdot b+2 \cdot a \cdot c+2 \cdot b \cdot c\,[/tex]. - Passando os termos do segundo para o primeiro membro e reagrupando, obtemos:
[tex]\qquad \qquad (a^2-2 \cdot a \cdot b+b^2)+(b^2–2 \cdot b \cdot c+c^2)+(a^2-2 \cdot a \cdot c+c^2)=0[/tex]. - Perceba que cada expressão entre parênteses corresponde a um trinômio quadrado perfeito. Logo, podemos reescrever a equação assim:
[tex]\qquad \qquad (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0\,. \qquad \textcolor{#800000}{(*)}[/tex] - Como o quadrado de todo número real ou é igual a zero ou é maior que zero, para que a soma dos quadrados de [tex] \textcolor{#800000}{(*)}[/tex] seja zero, é necessário que cada parcela seja zero. Desta forma, segue que:
|
[tex](a-b)^2=0[/tex] [tex]a-b=0[/tex] [tex]a=b[/tex] |
[tex](b-c)^2=0[/tex] [tex]b-c=0[/tex] [tex]b=c[/tex] |
[tex](a-c)^2=0[/tex] [tex]a–c=0[/tex] [tex]a=c[/tex] |
Sinteticamente, temos [tex]\boxed{~a=b=c~}[/tex] e, finalmente, podemos calcular o valor da expressão em questão:
[tex]\quad\begin{align}
\dfrac{a^5+b^5+c^5}{5} \cdot \dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^2 \cdot b^3 \cdot c^2}&= \dfrac{a^5+a^5+a^5}{5} \cdot \dfrac{a^2+a^2+a^2}{a^2 \cdot a^3 \cdot a^2} \\
&=\dfrac{3 \cdot a^5}{5} \cdot \dfrac{3 \cdot a^2}{a^7}\\
&=\dfrac{9 \cdot a^7}{5 \cdot a^7}\\
&=\dfrac{9}{5}\,.
\end{align}[/tex]
Assim, [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{a^5+b^5+c^5}{5} \cdot \dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^2 \cdot b^3 \cdot c^2}=\dfrac{9}{5}$}[/tex] .
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