(A) Problemão: Testando fungos

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

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Um laboratório testa a periculosidade de fungos desconhecidos. Estima-se que o teste forneça falsos negativos em 2% dos fungos tóxicos, enquanto rotula como perigosos 5% dos fungos inofensivos.
O professor Thiago observa com cautela que, mesmo que o teste classifique certo tipo de fungo como tóxico, ele tem 50% de chance de não o ser. Tomando como verdade a afirmação do professor Thiago, sua assistente Abigail inferiu que x% dos tipos de fungos analisados são tóxicos.
Calcule x.

Solução

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Este é um problema que envolve probabilidade condicional, já que precisaremos calcular a probabilidade de um fungo ser tóxico, sabendo que o teste deu positivo.
Vamos, então estudar a probabilidade $P(\text{fungo tóxico}\mid\text{ teste positivo}).$
Pela informação do professor Thiago, sabemos que esta probabilidade é de apenas $50\%$. Observe, pela fórmula dada acima, que:

$\qquad P(\text{fungo tóxico}\mid\text{ teste positivo})=\dfrac{\text{probabilidade de o fungo ser tóxico e o teste dar positivo}}{\text{probabilidade do teste dar positivo}}$.

• Se $x\%$ dos fungos são tóxicos, a probabilidade do fungo ser tóxico é $x\%$. Quando ele é tóxico, o teste oferece um falso negativo com $2\%$ de chance; assim, oferece resultado correto em $98\%$ dos casos.
  Isso implica que, pelo Princípio Fundamental da Contagem, a probabilidade do fungo ser tóxico e o teste dar positivo é dada por:
  $\qquad x\%\times 98\%=\dfrac{x}{100}\times \dfrac{98}{100}=\dfrac{98x}{10000}$.
• Por outro lado, o teste dá positivo em dois casos: quando o fungo não é tóxico ($5\%$ de chance de dar um falso positivo) e quando o fungo realmente é tóxico ($98\%$ de chance de dar um positivo correto).
  Como $(100-x)\%$ dos fungos não são tóxicos, pelo Princípio Fundamental da Contagem, há uma probabilidade de
  $\qquad (100-x)\%\times5\%=\dfrac{100-x}{100}\times\dfrac{5}{100}=\dfrac{500-95x}{10000}$
  do primeiro caso ocorrer.
  A probabilidade do segundo caso já foi calculada: $x\%\times 98\%=\dfrac{x}{100}\times \dfrac{98}{100}=\dfrac{98x}{10000}$.

Assim,
$\qquad P(\text{fungo tóxico}\mid\text{ teste positivo})=\dfrac{\dfrac{98x}{10000}}{\dfrac{500-5x}{10000} +\dfrac{98x}{10000}}$

$\qquad P(\text{fungo tóxico}\mid\text{ teste positivo})=\dfrac{98x}{500-5x+98x}=50\%\,.$
Daí, segue que:
$\qquad \dfrac{98x}{500+93x}=\dfrac{50}{100}\\ ~~$
$\qquad9800x=25000+4650x$
$\qquad5150x=25000$
$\qquad x\approx 4,85.$
Portanto, aproximadamente $4,85\%$ dos fungos são tóxicos.

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Confuso?
Este tipo de raciocínio é um pouco incomum e quase contraintuitivo. Para facilitar a compreensão, podemos fazer uma tabela e estipular um valor numérico para a população testada. Isso facilita o raciocínio.

Por exemplo, suponha que temos uma população de $10\,000$ fungos. Assim,

• $x\%$ dos fungos são realmente tóxicos, isto é, $100x$;
• $(100-x)\%$ dos fungos não são tóxicos, isto é, $10 000 -100x$;
• Dos $100x$ fungos tóxicos, $98\%$ são classificados como tal, ou seja, $98x$;
• Dos $10 000 -100x$ fungos inofensivos, $5\%$ são classificados como tóxicos, ou seja, $500 – 5x$.

Podemos montar a seguinte tabela:

	Teste positivo	Teste Negativo
Fungos tóxicos	$\,98x$	$~100x-98x=2x$
Fungos inofensivos	$500-5x$	$10\,000-100x-\left(500-5x \right)=9\,500-95x$

A probabilidade de um fungo ser tóxico dado que seu exame foi positivo é, então, $\dfrac{98x}{98x+500-5x}=50\%$.
Assim, segue que:
$\qquad \dfrac{98x}{93x+500}=\dfrac{50}{100}$
$\qquad 9800x=4650x+25000$,
donde concluímos que $x\approx 4,85$.

Outro recurso didático que facilita a visualização é o diagrama de árvore:

A probabilidade de um fungo ser tóxico dado que seu exame foi positivo é, então,
$\qquad \dfrac{(0,98\cdot x)\%}{(0,98\cdot x)\%+(5-(0,05\cdot x))\%}=50\%$.

Assim, $x\approx 4,85$.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.