.Problemão: Outro valor máximo

Link do problema para dispositivos da Apple.

Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)

Considere todos os pares de números reais

$x$ e

$y$ para os quais

$x^{2}+y^{2}=1$ . Neste conjunto, encontre o maior valor assumido pela expressão

$E = x + 2y.$

Extraído de PAPMEM-IMPA – 2014.

Lembretes

O ângulo formado entre a reta tangente e o raio da circunferência é de $90 ^\circ$ .

(II) O produto dos coeficientes angulares de retas perpendiculares vale

$-1$ .

Solução

Considerando o plano cartesiano

$xOy$ , a expressão

$\textcolor{blue}{x^{2}+y^{2}=1}$ , geometricamente, representa uma circunferência de centro

$O=(0,0)$ e raio

$1$ .

Note que, se

$E$ é um número real, a igualdade

$E=x+2y$ é equivalente a

$y=\dfrac{-x}{2}+\dfrac{E}{2}$ .
No plano cartesiano

$xOy$ , essa última equação representa um feixe de retas paralelas com coeficiente angular

$-\dfrac{1}{2}$ e coeficiente linear

$\dfrac{E}{2}$ .
A figura abaixo mostra uma reta

$\textcolor{red}{r}$ desse feixe, para um número real positivo

$E$ particular. Note que essa reta é decrescente e intercepta o eixo vertical em

$\dfrac{E}{2}$ e o eixo horizontal em

$E$ .

Perceba que, quando

$E$ aumenta, a respectiva reta

$\textcolor{red}{r}$ afasta-se da origem e, num dado momento, deixará de intersectar a circunferência, o que significa que não estaremos mais dentro das condições do problema.

Assim, para que sejam cumpridas as hipóteses do problema, o valor máximo de $E$ ocorrerá quando a reta $\textcolor{red}{r}$ for tangente à circunferência definida por $x^{2}+y^{2}=1$ , em um ponto do primeiro quadrante.
Vamos denotar por $P$ esse ponto de tangência.

Seja $\textcolor{#0099FF}{s}$ a reta que passa por $O$ e $P$ . Vamos determinar a equação de $\textcolor{#0099FF}{s}$ , para podermos determinar as coordenadas do ponto $P$ .

Pelo lembrete , a reta $\textcolor{#0099FF}{s}$ é perpendicular à reta $\textcolor{red}{r}$ . Portanto, pelo lembrete , o coeficiente angular de $\textcolor{#0099FF}{s}$ é $\boxed{\, -\dfrac{1}{-1/2}=2}\,.$
Por outro lado, por passar pelo ponto $(0,0)$ , o coeficiente linear da reta $\textcolor{#0099FF}{s}$ é igual a $0$ .

Sendo assim, a equação de $\textcolor{#0099FF}{s}$ é $y=2x$ .

Finalmente, para encontrar o ponto $P$ basta resolver o sistema:
$\qquad \begin{cases} x^{2} + y^{2} = 1 \\ y = 2x \end{cases}~$ .
Vamos lá!
Substituindo o valor de $y$ dado pela segunda equação na primeira, segue que:
$\qquad x^{2}+4x^{2}=1 \\ \qquad x^2=\dfrac{1}{5}\\ \qquad x= \pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}.$
Como $P$ é um ponto do primeiro quadrante, $x=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\,$ e, portanto, $P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}, \dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)\,.$
Assim, finalmente concluímos que:
$\qquad E=\dfrac{1}{\sqrt{5}}+2\cdot\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}\\ \qquad \,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$E=\sqrt{5}$}\,.$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.