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Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(OBM, Nível 3, 2008 – Adaptado) Carol, Dani, Noemi e Sonia baralharam as [tex]52[/tex] cartas de um baralho e distribuíram [tex]13[/tex] cartas para cada uma. Noemi ficou surpresa:
– “Que estranho, não tenho nenhuma carta de espadas.”
Qual a probabilidade de Sonia também não ter cartas de espadas?
Ajuda
✏ A probabilidade de um evento ocorrer em um modelo com espaço amostral finito e equiprovável é calculada por:
| Probabilidade[tex]\;\;[/tex] = | número de casos favoráveis | . |
| número de casos possíveis |
✏ Combinação simples: Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto é escolhê-los levando-se em consideração apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos é denominado uma Combinação simples. Particularmente, quando escolhemos [tex]r[/tex] dentre [tex]n[/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combinação simples de [tex]n[/tex] elementos tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex]. A quantidade desse tipo de agrupamentos é denotada por [tex]C_{n,r}[/tex] ou [tex]C_n^r\,[/tex] e assim definida:
[tex]C_{n,r}=C_n^r=\dfrac{n!}{(n-r)!\,r!} \text{ , com } n,r\in\mathbb{N} \text{ e } r\leqslant n[/tex].
Solução
Deseja-se saber a probabilidade de ocorrer o evento composto por [tex]13[/tex] cartas, das quais nenhuma delas é de espadas, de um espaço amostral formado por [tex]39[/tex] cartas, das quais [tex]13[/tex] são de espadas. Como no total são [tex]52[/tex] cartas e das [tex]13[/tex] cartas que estão com Noemi nenhuma é de espadas, então as demais amigas estão com as [tex]13[/tex] cartas de espadas e [tex]26[/tex] cartas que não são de espadas. Assim, para Sonia não estar com nenhuma carta de espadas, ela deve estar com [tex]13[/tex] cartas das [tex]26[/tex] possíveis.
Considere o evento E = Sonia não ter cartas de espadas e [tex]\Omega[/tex] o espaço amostral.
Observe que:
- o número de elementos do evento [tex]E[/tex] é [tex]\textcolor{red}{n(E) = C^{13}_{26}}[/tex] ;
- o número de elementos do espaço amostral é [tex]\textcolor{blue}{n(\Omega) = C^{13}_{39}}[/tex].
Assim, a probabilidade de ocorrer o evento [tex]E[/tex] pode ser assim calculada:
[tex]\qquad p(E) = \dfrac{\textcolor{red}{n(E)}}{\textcolor{blue}{n(\Omega)}}[/tex]
[tex]\qquad p(E) = \dfrac{\textcolor{red}{C^{13}_{26}}}{\textcolor{blue}{C^{13}_{39}}}[/tex]
[tex]\qquad p(E) =\dfrac{\textcolor{red}{\frac{26!}{13!\cdot 13!}}}{\textcolor{blue}{\frac{39!}{13!\cdot 26!}}} [/tex]
[tex]\qquad p(E) = \dfrac{26!\cdot \cancel{13!}\cdot 26!}{\cancel{13!}\cdot 13!\cdot 39!}[/tex]
[tex]\qquad p(E) = \dfrac{26!\cdot 26!}{13!\cdot 39!}\approx 0,0013[/tex]
[tex]\qquad p(E) \approx 0,13 \%.[/tex]
Logo, a probabilidade de Sonia também não ter cartas de espadas é de aproximadamente [tex]0,13 \%.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.