.Problemão: Um grande sistema

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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)


(IME) Considere o seguinte sistema de equações lineares:
[tex]\begin{cases} 6x_{1} +x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=10 \\x_{1} +6x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=20 \\x_{1} +x_{2}+6x_{3}+x_{4}+x_{5}=40\\x_{1} +x_{2}+x_{3}+6x_{4}+x_{5}=80 \\x_{1} +x_{2}+x_{3}+x_{4}+6x_{5}=160 \end{cases}[/tex].

Calcule o valor de [tex]7x_{1}+3x_{5}[/tex].

Solução


  • Somando todas a equações do sistema, obtemos:
    [tex]\qquad 10x_{1} +10x_{2}+10x_{3}+10x_{4}+10x_{5}=310[/tex].
  • Dividindo a equação obtida por [tex]10[/tex], temos:
    [tex]\qquad x_{1} +x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=31[/tex].
  • Voltando ao sistema, a equação [tex]6x_{1} +x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=10[/tex] pode ser reescrita da seguinte forma:
    [tex]\qquad 5x_{1}+x_{1} +x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=10[/tex].
  • Substituindo [tex]x_{1} +x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}[/tex] por [tex]31[/tex] na equação obtida, segue que [tex]5x_{1}+31=10 [/tex], ou seja, [tex]\boxed{x_{1}=\dfrac{-21}{5}}[/tex].
  • Analogamente, a equação [tex]x_{1} +x_{2}+x_{3}+x_{4}+6x_{5}=160[/tex] pode ser reescrita como:
    [tex]\qquad x_{1} +x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+5x_{5}=160[/tex].
  • Substituindo [tex]x_{1} +x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}[/tex] por [tex]31[/tex] na equação obtida, concluímos que [tex]31+5x_{5}=160[/tex], ou seja [tex]\boxed{x_{5}=\dfrac{129}{5}}[/tex].

Portanto,
[tex]\qquad 7x_{1}+3x_{5}=7 \cdot \left( \dfrac{-21}{5} \right)+ 3 \cdot \left( \dfrac{129}{5} \right)\\
\qquad 7x_{1}+3x_{5}=\dfrac{-147+387}{5}=\dfrac{240}{5}\\
\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$7x_{1}+3x_{5}=48$}\,.[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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