Problema
Se [tex]n[/tex] é um inteiro positivo, denotaremos por [tex]S(n)[/tex] a soma dos algarismos de [tex]n[/tex].
Por exemplo, [tex]S(271)=10[/tex] e [tex]S(12345)=15[/tex].
Determine [tex]n[/tex] tal que [tex]n+S(n)+S(S(n))+S(S(S(n)))=1993[/tex].
★★★
Solução
Claramente [tex]n\lt 1993[/tex].
Observamos que, dentre os números entre [tex]1[/tex] e [tex]1993[/tex], os que têm a maior soma de dígitos são [tex]999[/tex], [tex]1898[/tex] e [tex]1989[/tex], assim [tex]S(n)\leq 27[/tex].
De [tex]S(n)\leq 27[/tex], segue que [tex]S(S(n))\leq S(19)=10[/tex] e ainda [tex]S(S(S(n)))\leq 9[/tex].
De [tex]n+S(n)+S(S(n))+S(S(S(n)))=1993[/tex], segue que:
[tex]\quad n=1993-S(n)-S(S(n))-S(S(S(n)))[/tex].
Assim, como [tex]S(n)\leq 27[/tex], [tex]S(S(n))\leq 10[/tex] e [tex]S(S(S(n)))\leq 9[/tex], podemos concluir que [tex]n\geq 1993-27-10-9[/tex], ou seja, [tex]n\geq 1947[/tex].
Vamos agora utilizar uma conhecida propriedade sobre restos de uma divisão por [tex]9[/tex].
(*)Propriedade: Seja [tex]n[/tex] um número inteiro positivo e seja [tex]S(n)[/tex] a soma dos algarismos de [tex]n[/tex]. Então [tex]n[/tex] e [tex]S(n)[/tex] deixam o mesmo resto quando divididos por [tex]9[/tex].
Para você entender melhor, considere a representação decimal do número [tex]n[/tex]:
[tex]\quad n=\left(a_ma_{m-1}\cdots a_2a_1a_0\right)_{10}\\
\quad n= a_m10^m+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots+a_210^2+a_110^1+a_0\,.[/tex]
O que estamos afirmando é que o resto da divisão de [tex]n[/tex] por [tex]9[/tex] é o mesmo resto da divisão de [tex]a_m+a_{m-1}+\cdots +a_2+a_1+a_0[/tex] por [tex]9[/tex].
| [tex]n\, \, [/tex] | [tex]9[/tex] | [tex]\qquad a_m+a_{m-1}+\cdots +a_2+a_1+a_0[/tex] | [tex]9[/tex] | |
| [tex]r[/tex] | [tex]\, \, \, q_1[/tex] | [tex]r[/tex] | [tex]\, \, \, q_2[/tex] |
Pela propriedade, os números [tex]n,\, \, S(n),\, \, S(S(n)),\, \, S(S(S(n)))[/tex] deixam o mesmo resto, quando divididos por [tex]9[/tex]: digamos [tex]r[/tex].
Assim
[tex]\qquad \bullet~ n=9q_1+r,\, \, q_1\in \mathbb{N}[/tex];
[tex]\qquad \bullet~ S(n)=9q_2+r,\, \, q_2\in \mathbb{N}[/tex];
[tex]\qquad \bullet~ S(S(n))=9q_3+r,\, \, q_3\in \mathbb{N}[/tex];
[tex]\qquad \bullet~ S(S(S(n)))=9q_4+r,\, \, q_4\in \mathbb{N}[/tex];
e, então,
[tex]\quad 1993=n+S(n)+S(S(n))+S(S(S(n)))=9\times Q+4r[/tex],
com [tex]\, Q=q_1+q_2+q_3+q_4[/tex].
Mas [tex]1993=9\times 221+4[/tex], assim [tex]9\times 221+4=9\times Q+4r[/tex], donde [tex]9\times (221-Q)=4\times (r-1)[/tex].
Essa última equação nos garante que [tex]4\times (r-1)[/tex] é múltiplo de [tex]9[/tex] e como [tex]mdc(4,9)=1[/tex] (isto é, [tex]4[/tex] e [tex]9[/tex] não têm fatores em comum) podemos concluir que [tex]r-1[/tex] é múltiplo de 9.
Mas [tex]r[/tex] é um resto de uma divisão por 4, logo [tex]r\lt 4[/tex], e assim [tex]r-1[/tex] é um múltiplo de [tex]9[/tex] menor do que 3, ou seja, [tex]r-1=0[/tex] e, consequentemente, [tex]r=1[/tex].
Como [tex]n=9q_1+r[/tex] , então [tex]n=9q_1+1[/tex] o que nos garante que [tex]n[/tex] é um número tal que [tex]1947\leq n \lt 1993[/tex] e que, quando dividido por [tex]9[/tex], deixa resto 1.
Os números que satisfazem essas condições são [tex]1954,\, 1963,\, 1972,\, 1981[/tex] e [tex]1990[/tex] e desses, apenas [tex]1963[/tex] satisfaz a equação dada.
(*) Tente justificar essa propriedade.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.