.Problema para ajudar na escola: Nossa, quantos triângulos ! ! ! ! ! !
Problema (A partir da 1ª série do E. M.- Nível de dificuldade: Médio)
Em cada caso, é possível construir um único triângulo satisfazendo cada uma das condições dadas?
Justificar as respostas. Observação importante: As figuras não estão em escala.
Para ajudar…
(1) Quando na Matemática falamos que um triângulo é único significa que: se um outro for construído com as mesmas condições, os dois serão geometricamente iguais entre si. Com iguais entre si queremos dizer que:
as medidas dos lados de um triângulo são ordenadamente iguais às medidas dos lados do outro e
as medidas dos ângulos de um triângulo são ordenadamente iguais às medidas dos ângulos do outro.
Essa “igualdade geométrica” é o que conhecemos como congruência. Assim, informalmente, dois triângulos são congruentes se for possível movimentar um deles, sem deformá-lo, até fazê-lo coincidir completamente com o outro.
Para verificarmos se dois triângulos são congruentes, não é necessário comparar as três medidas dos lados e as três medidas dos ângulos de um desses triângulos com as respectivas medidas do outro. Existem condições nas quais apenas três comparações de medidas são suficientes para se concluir que dois triângulos são congruentes. Essas condições mínimas são chamadas de critérios de congruência.
Não se lembra?
Clique no próximo botão…
Caso L.A.L. (lado, ângulo, lado)
Dois triângulos são congruentes se “dois lados de um triângulo e o ângulo definido por esses lados” têm respectivamente as mesmas medidas de “dois lados do outro triângulo e o ângulo determinado por esses dois lados”.
Caso A.L.A. (ângulo, lado, ângulo)
Dois triângulos são congruentes se “um lado de um triângulo e os ângulos com vértices nas extremidades desse lado” têm respectivamente as mesmas medidas de “um lado do outro triângulo e os ângulos com vértices nas extremidades desse lado”.
Caso L.L.L. (lado, lado, lado)
Dois triângulos são congruentes se, em alguma ordem, “os três lados de um triângulo” têm respectivamente as mesmas medidas “dos três lados do outro triângulo”.
Caso L.A.Ao. (lado, ângulo, ângulo oposto)
Dois triângulos são congruentes se “dois ângulos de um triângulo e o lado oposto a um desses ângulos” têm respectivamente as mesmas medidas de “dois ângulos do outro triângulo e o lado oposto correspondente nesse outro triângulo”.
Congruência de triângulos retângulos
Dois triângulos retângulos são congruentes se “um cateto e a hipotenusa de um triângulo “ têm respectivamente as mesmas medidas de “um cateto e a hipotenusa do outro triângulo “.
(2) Desigualdade triangular: Em um triângulo, cada lado tem comprimento menor do que a soma dos comprimentos dos outros dois lados.
Assim, em um triângulo [tex]ABC[/tex] cujos lados [tex]\overline{AB}~[/tex], [tex]\overline{BC}~[/tex] e [tex]\overline{CA}~[/tex] medem [tex]c~[/tex], [tex]a~[/tex] e [tex]b~[/tex], respectivamente, temos:
[tex]\boxed{a \lt b+c}~[/tex], [tex]~\boxed{b \lt a+c}~[/tex] e [tex]~\boxed{c \lt a+b}.[/tex]
É importante observar que a recíproca da desigualdade triangular também é verdadeira:
Dados segmentos de reta cujos comprimentos [tex]a~[/tex], [tex]b~[/tex] e [tex]c~[/tex] satisfazem as desigualdades
[tex]\boxed{a \lt b+c}~[/tex], [tex]~\boxed{b \lt a+c}~[/tex] e [tex]~\boxed{c \lt a+b}~[/tex],
é sempre possível construirmos um triângulo que tenha esses segmentos como lados
(3) Ângulos internos de um triângulo: A soma das medidas dos ângulos internos
de qualquer triângulo é [tex]180^\circ\,.[/tex]
Assim, se [tex]a[/tex], [tex]b\,[/tex] e [tex]\,c[/tex] são as medidas em graus dos ângulos internos de um triângulo [tex]ABC[/tex], então:
[tex]a+b+c=180^\circ\,.[/tex]
(4) Ângulos e lados de um triângulo:
Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então seus ângulos opostos não são congruentes e o maior ângulo é oposto ao maior lado.
Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os lados que se opõem a esses ângulos têm medidas distintas, sendo que o maior lado se opõe ao maior ângulo.
Solução
Observações iniciais: (1) Para cada item, construir um único triângulo com as condições dadas significa que, se construirmos um primeiro, um segundo triângulo que possa ser construído sob as mesmas condições é congruente ao primeiro. (2) Nas nossas soluções, vamos utilizar retas, segmentos de retas, semirretas, ângulos, circunferências e arcos de circunferências.
Retas, semirretas e segmentos de retas devem ser traçados com régua.
Circunferências e arcos de circunferências devem ser traçados com compasso.
Ângulos com medidas pré-determinadas devem ser traçados utilizando-se transferidor.
Agora, vamos lá!
(a) Como [tex]45^{\circ} + 55^{\circ} + 80^{\circ} = 180^{\circ}[/tex], é possível construirmos triângulos com ângulos internos medindo [tex]45^{\circ}[/tex], [tex]55^{\circ}[/tex] e [tex]80^{\circ}[/tex]. Utilize o applet abaixo e comprove!
Instruções: 1) Aguarde o aplicativo carregar. 2) Clique no quadradinho que irá aparecer para iniciar a construção. 3) Vá clicando sequencialmente nos quadradinhos que irão aparecer, até que a construção seja finalizada. 4) Para voltar à configuração inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do applet.
No entanto, podemos construir triângulos com essas medidas para seus ângulos internos, mas com os comprimentos dos lados correspondentes diferentes. Use o applet abaixo e comprove!
Instruções: 1) Aguarde o aplicativo carregar. 2) O triângulo da esquerda está fixo; mas, o da direita, você pode movimentá-lo e modificá-lo, mantendo as medidas dos ângulos internos: [tex]45^{\circ}[/tex], [tex]55^{\circ}[/tex] e [tex]80^{\circ}[/tex]. Para tanto, clique com qualquer botão do mouse sobre o ponto [tex]A'[/tex], mantenha o botão apertado e, em seguida, movimente o mouse. 3) Para voltar à configuração inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do applet.
Portanto, existe um triângulo que satisfaz as condições do item (a), mas ele não é único: existe um número ilimitado de triângulos com ângulos internos medindo [tex]45^{\circ}[/tex], [tex]55^{\circ}[/tex] e [tex]80^{\circ}[/tex] e lados com comprimentos diferentes, ou seja, triângulos não congruentes com ângulos internos medindo [tex]45^{\circ}[/tex], [tex]55^{\circ}[/tex] e [tex]80^{\circ}.[/tex]
(b) Use o applet abaixo e observe que:
é possível a construção de um ângulo nas condições do item (b);
construído um ângulo e dois lados nas condições do item (b), só existe uma maneira de definirmos o terceiro lado do triângulo e, consequentemente, os dois outros ângulos internos.
Instruções: 1) Aguarde o aplicativo carregar. 2) Clique no quadradinho que aparece à esquerda para iniciar a construção. 3) Vá clicando sequencialmente nos quadradinhos que irão aparecer, até que a construção seja finalizada e sejam feitas as observações pertinentes. 4) Para voltar à configuração inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do applet.
Pelo caso L.A.L., todos os triângulos que construirmos com essas especificações serão congruentes. Portanto, existe um triângulo que satisfaz as condições do item (b) e ele é único: todos os triângulos com lados medindo [tex]3\text{ cm}[/tex] e [tex]3,8\text{ cm}[/tex] e cujo ângulo determinado por esses lados tenha [tex]34^{\circ}[/tex] são congruentes.
(c) Pela desigualdade triangular, cada lado de um triângulo tem comprimento menor do que a soma dos comprimentos dos outros dois lados.
Mas observe que [tex] 5+5,2=10,2 \boldsymbol{\textcolor{red}{\lt}} 11[/tex]; assim, não existe um triângulo cujos lados tenham comprimentos [tex]5[/tex], [tex]5,2[/tex] e [tex]11[/tex] unidades de medida.
Use o applet abaixo e se convença, na prática, de que a construção de um triângulo com essas medidas não é possível.
Fixe um dos três segmentos que aparecem no aplicativo e faça coincidir cada uma de suas extremidades com uma das extremidades de cada um dos outros segmentos. Tente unir as extremidades que ficaram livres.
Repita o processo, fixando cada um dos outros dois segmentos.
Instruções: 1) Aguarde o aplicativo carregar. 2) Para transladar um segmento, clique com qualquer botão do mouse sobre a extremidade azul, mantenha o mouse pressionado e faça o movimento. 3) Para rodar um segmento, clique com qualquer botão do mouse sobre a extremidade vermelha, mantenha o mouse pressionado e faça o movimento. 4) Para voltar à configuração inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do applet.
Se você ainda não se convenceu, você poderá utilizar o próximo applet no qual fixamos o semento maior e construímos duas circunferências:
uma com centro em uma extremidade desse segmento e raio [tex]5\text{ cm},[/tex]
a segunda com centro na outra extremidade do segmento e raio [tex]5,2\text{ cm}.[/tex]
Para que, a partir do segmento de [tex]11\text{ cm}[/tex] de comprimento, pudéssemos construir o triângulo com os outros lados medindo [tex]5\text{ cm}\,[/tex] e [tex]\, 5,2\text{ cm}[/tex], seria necessário que as duas circunferências construídas se intersectassem em um ponto, para que os pontos [tex]C_1[/tex] e [tex]C_2[/tex] que aparecem sobre as circunferências se transformassem em um único [tex]C[/tex], definindo assim o triângulo [tex]ABC\,.[/tex]
Instruções: 1) Aguarde o aplicativo carregar. 2) Para movimentar [tex]C_1[/tex] ou [tex]C_2[/tex], clique sobre o ponto com qualquer botão do mouse sobre a extremidade azul, mantenha o mouse pressionado e faça o movimento. Cada ponto se movimenta apenas sobre a circunferência a qual ele pertence. 3) Para voltar à configuração inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do applet.
Portanto, não existe um triângulo que satisfaça as condições do item (c).
(d) Observe que: • [tex]6+7=13 \boldsymbol{\textcolor{blue}{\gt}} 9[/tex]; • [tex]6+13=19 \boldsymbol{\textcolor{blue}{\gt}} 7[/tex]; • [tex]7+13=20 \boldsymbol{\textcolor{blue}{\gt}} 6[/tex].
Assim, a recíproca da desigualdade triangular nos garante que podemos construir um triângulo com essas especificações. Use o applet abaixo e comprove!
Fixe um segmento com uma das três medidas, digamos o segmento [tex]\overline{AB}[/tex] com comprimento [tex]9\text{ cm}\,.[/tex]
Trace uma circunferência de centro em [tex]A[/tex] e raio [tex]7\text{ cm}\,.[/tex] (Destacamos apenas um arco para propiciar uma melhor visualização)
Trace uma circunferência de centro em [tex]B[/tex] e raio [tex]6\text{ cm}\,.[/tex] (Destacamos apenas um arco para propiciar uma melhor visualização)
A interseção dos dois arcos define o terceiro vértice do triângulo.
Instruções: 1) Aguarde o aplicativo carregar. 2) Clique no quadradinho que aparece à esquerda para iniciar a construção. 3) Vá clicando sequencialmente nos quadradinhos que irão aparecer, até que a construção seja finalizada. 4) Para voltar à configuração inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do applet.
Pelo caso L.L.L., todos os triângulos que construirmos com essas especificações serão congruentes.
Portanto, existe um triângulo que satisfaz as condições do item (d) e ele é único: todos os triângulos com lados medindo [tex]9\text{ cm}[/tex], [tex]7\text{ cm}[/tex] e [tex]6\text{ cm}[/tex] são congruentes.
(e) É possível construirmos um triângulo com lados medindo [tex]6\text{ cm}\,[/tex] e [tex]\, 3,5\text{ cm}\,.[/tex] Observe um caminho para a construção:
A partir de um ponto [tex]A[/tex], construa duas semirretas distintas.
Com centro em [tex]A[/tex], trace uma circunferência com raio [tex]6\text{ cm}\,.[/tex] Denote a interseção dessa circunferência com uma das semirretas por [tex]B\,.[/tex]
Com centro em [tex]A[/tex], trace uma circunferência com raio [tex]3,5\text{ cm}\,.[/tex] Denote a interseção dessa circunferência com a segunda semirretas por [tex]C\,.[/tex]
Pronto, os pontos [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] definem um triângulo com as especificações deste item.
Use o applet abaixo e comprove!
Instruções: 1) Aguarde o aplicativo carregar. 2) Clique no quadradinho que aparece à esquerda para iniciar a construção. 3) Vá clicando sequencialmente nos quadradinhos que irão aparecer, até que a construção seja finalizada. 4) Para voltar à configuração inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do applet.
Embora seja possível construir um triângulo com as medidas sugeridas para dois de seus lados, ele não é o único que satisfaz essas condições. Use o applet abaixo e comprove!
Instruções: 1) Aguarde o aplicativo carregar. 2) Clique no ponto M ou no ponto N, mantenha o mouse pressionado e movimente-o. Com isso você vai obter triângulos coloridos de azul que satisfazem as condições deste item: lados medindo [tex]6\text{ cm}[/tex] e [tex]3,5\text{ cm}[/tex]. Observe que os triângulos azuis, em geral, não são congruentes ao triângulo vermelho, pois as medidas dos terceiros lados são distintas. 3) Para voltar à configuração inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do applet.
Portanto, existe um triângulo que satisfaz as condições do item (e): lados medindo [tex]6\text{ cm}[/tex] e [tex]3,5\text{ cm}[/tex], mas esse triângulo não é único.
(f) Não existe triângulos que satisfaçam as condições deste item.
Observe que, ao construir um ângulo de [tex]30^\circ[/tex] a partir de um vértice [tex]A[/tex] e definir um segmento [tex]\overline{AB}[/tex] de comprimento [tex]6\text{ cm}[/tex] sobre um dos lados do ângulo, o próximo passo deveria ser definir o segmento [tex]\overline{BC}[/tex] de comprimento [tex]2\text{ cm}[/tex]. Mas a menor distância entre o ponto [tex]B[/tex] e um ponto [tex]Q[/tex] da reta definida pelo outro lado do ângulo de [tex]30^\circ[/tex] é dada pelo segmento [tex]\overline{BQ}[/tex] perpendicular a essa reta (e, portanto, o cateto oposto ao ângulo de [tex]30^\circ[/tex] do triângulo retângulo [tex]ABQ[/tex]). Mas, nesse caso, a trigonometria nos garante que, se [tex]x[/tex] é o comprimento desse segmento, então [tex]\text{sen}\,30^\circ =\frac{x}{6}.[/tex] Como [tex]\text{sen}\,30^\circ =\frac{1}{2}[/tex], o segmento [tex]\overline{BC}[/tex]deveria ter, no mínimo, [tex]3\, cm[/tex] de comprimento. Use o applet abaixo e comprove!
Instruções: 1) Aguarde o aplicativo carregar. 2) Clique no quadradinho Justificativa 1 para obter uma circunferência de centro em [tex]B[/tex] e raio [tex]2 \text{ cm}[/tex]. Com essa circunferência, observe que nenhum segmento de extremidade em [tex]B[/tex] e com raio [tex]2 \text{ cm}[/tex] intersecta o lado do ângulo que deveria conter o lado [tex]\overline{AC}[/tex] do triângulo proposto neste item. 3) Desmarque o quadradinho da Justificativa 1 e clique no quadradinho Justificativa 2. Você irá poderá segmentos de reta com uma extremidade fixa [tex]B[/tex] e com a segunda extremidade [tex]Q[/tex] no lado do ângulo que deveria conter o lado [tex]\overline{AC}[/tex] do triângulo proposto neste item. Movimente o ponto [tex]Q[/tex] e perceba que não é possível obter uma posição para esse ponto, de modo a definir um segmento de [tex]2 \text{ cm}[/tex]. A menor medida possível para o comprimento de [tex]\overline{BQ}[/tex] é [tex]3 \text{ cm}.[/tex] 4) Para voltar à configuração inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do applet.
Portanto, não existe um triângulo que satisfaça as condições do item (f).
(g) Como [tex]70^{\circ} + 60^{\circ} + 40^{\circ} = 170^{\circ} \ne 180^{\circ}[/tex], a propriedade da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo permite concluir que não é possível construirmos triângulos com ângulos internos medindo [tex]70^{\circ}[/tex], [tex]60^{\circ}[/tex] e [tex]40^{\circ}[/tex]. Use o applet abaixo e comprove!
Instruções: 1) Aguarde o aplicativo carregar.
No aplicativo aparecem três ângulos com as medidas definidas neste item. Com cada ângulo é possível fazer três movimentos básicos; utilize esses movimentos para observar a impossibilidade de construção de um triângulo. 2) Para rodar um ângulo, clique no seu respectivo vértice [tex]\left(V_1,\, V_2 \text{ ou } V_3 \right)[/tex], mantenha o mouse pressionado e faça o movimento. 3) Para transladar um ângulo, clique no respectivo lado com extremidades [tex]V_i[/tex] e [tex]P_i[/tex] [tex]\left(\overline{V_1P_1},\, \overline{V_2P_2} \text{ ou } \overline{V_3P_3} \right)[/tex], mantenha o mouse pressionado e faça o movimento. 4) Para modificar o tamanho dos segmentos que definem cada ângulo, clique na respectiva extremidade [tex]P_i[/tex] [tex]\left( P_1,\, P_2 \text{ ou } P_3 \right)[/tex], mantenha o mouse pressionado e movimente o mouse. 5) Para voltar à configuração inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do applet.
Portanto, não existe um triângulo que satisfaça as condições do item (g).
(h) Como [tex]70^{\circ} + 70^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}[/tex], a propriedade da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo nos permite concluir que é possível construirmos triângulos com ângulos internos medindo [tex]70^{\circ}[/tex], [tex]70^{\circ}[/tex] e [tex]40^{\circ}[/tex].
Por outro lado, as propriedades que relacionam as medidas dos lados de um triângulo com as medidas dos respectivos ângulos opostos garantem que, em um triângulo, o ângulo oposto a um lado que mede [tex]6 \text{ cm}[/tex] deve ser menor que o oposto ao lado que mede [tex]7 \text{ cm}[/tex]. No triângulo que aparece neste item temos um lado que mede [tex]7 \text{ cm}[/tex] cujo ângulo oposto mede [tex]70^{\circ}[/tex] e temos um lado que mede [tex]6 \text{ cm}[/tex] cujo ângulo oposto mede também [tex]70^{\circ}[/tex], o que não pode ocorrer. Use o applet abaixo e comprove!
Instruções: 1) Aguarde o aplicativo carregar.
No aplicativo aparece parcialmente desenhado um triângulo com ângulos internos medindo [tex]70^{\circ}[/tex], [tex]70^{\circ}[/tex] e [tex]40^{\circ}[/tex] e o lado que mede [tex]7\text{ cm}.[/tex] Movimentando os pontos [tex]C_1\,[/tex] e [tex]\,C_2[/tex] será possível definir completamente o triângulo [tex]ABC[/tex]. Veja que será impossível definir o triângulo [tex]ABC[/tex] com os lados que não aparecem no aplicativo medindo [tex]6\text{ cm}[/tex] cada. 2) Para definir o lado [tex]\overline{AC}[/tex], clique no ponto [tex]C_1\,[/tex], mantenha o mouse pressionado e faça o movimento. 3) Para definir o lado [tex]\overline{BC}[/tex], clique no ponto [tex]C_2\,[/tex], mantenha o mouse pressionado e faça o movimento. 4) Para voltar à configuração inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do applet.
Portanto, não existe um triângulo que satisfaça as condições do item (h).
(i) O maior ângulo interno do triângulo [tex]ABC[/tex] deste item mede [tex]90^\circ[/tex]; assim, o lado oposto a esse ângulo deve ser o maior lado do triângulo e isso não acontece: o lado oposto ao ângulo reto mede [tex]6 \text{ cm}[/tex] e um segundo lado mede [tex]7 \text{ cm}.[/tex]
Logo, o triângulo proposto neste item não é possível de ser construído. Use o applet abaixo e comprove!
Instruções: 1) Aguarde o aplicativo carregar.
No aplicativo aparece um segmento [tex]\overline{AB}[/tex] com comprimento [tex]7\text{ cm}[/tex] e uma reta [tex]r[/tex] perpendicular a [tex]\overline{AB}[/tex].
A partir do ponto [tex]B[/tex] definimos um segmento de [tex]6\text{ cm}[/tex] com uma extremidade móvel [tex]C_1[/tex]. Movimente [tex]\overline{BC_1}[/tex] e verifique que esse segmento não intersecta a reta [tex]r[/tex] e, portanto, não define um triângulo com vértices em [tex]A[/tex] e em [tex]B.[/tex] 2) Para movimentar o segmento [tex]\overline{BC_1}[/tex], clique no ponto [tex]C_1\,[/tex], mantenha o mouse pressionado e faça o movimento.
