Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Podemos observar que na progressão aritmética [tex](2,49, 96, 143, \cdots)[/tex], cujo primeiro termo é [tex]2[/tex] e a razão é [tex]47[/tex], o segundo termo é um quadrado perfeito ([tex]7^2=49[/tex]).
Encontre o próximo termo dessa progressão aritmética que também é um quadrado perfeito.
Solução
Os termos [tex](a_1,a_2,\cdots)[/tex] da progressão [tex](2,49, 96, 143, \cdots)[/tex] são definidos pela expressão [tex]\boxed{a_n=2+(n-1)47}\,.[/tex]
Depois do [tex]49=7^2[/tex], o próximo quadrado perfeito será o quadrado de um número maior que [tex]7[/tex], ou seja, um número da forma [tex]7+k[/tex], com [tex]k \in \mathbb{N}^* [/tex]. Assim, o próximo quadrado perfeito nesta P.A será da forma [tex](7+k)^2[/tex], com [tex]k \in \mathbb{N}^* [/tex].
Suponhamos que [tex](7+k)^2[/tex] ocupe a posição [tex]m[/tex] na P. A.; assim, segue que:
[tex]\qquad a_m=(7+k)^2\\
\qquad 2+(m-1)47=7^2+14k+k^2\\
\qquad 2+(m-1)47=49+k(14+k)\\
\qquad (m-1)47=47+k(14+k)\\
\qquad \dfrac{(m-1)47}{47}=\dfrac{47+k(14+k)}{47}\\
\qquad m-1=1+\dfrac{k(14+k)}{47}\\
\qquad m-2=\dfrac{k(14+k)}{47}\,.\\
[/tex]
Observe que temos [tex]\underbrace{m-2}_{inteiro}=\dfrac{k(14+k)}{47}[/tex], ou seja, [tex]\dfrac{k(14+k)}{47}[/tex] é inteiro; na verdade natural, já que [tex]k[/tex] é natural. Portanto, temos que escolher [tex]k[/tex] de forma que [tex]\dfrac{k(14+k)}{47}[/tex] seja o menor natural possível.
- Para que [tex]\dfrac{k(14+k)}{47}[/tex] seja um número natural, [tex]47[/tex] deve ser um divisor de [tex]k(14+k)[/tex]. Como [tex]47[/tex] é primo, então [tex]47[/tex] deve ser um divisor de [tex]k[/tex] ou de [tex]14+k[/tex], ou seja, [tex]k[/tex] ou [tex]14+k[/tex] devem ser múltiplos de [tex]47[/tex]. Isso nos leva às seguintes possibilidades:
- Mas [tex]k[/tex] deve ser o menor natural possível; logo, a escolha que fornece o próximo termo da P.A. é [tex]\,\boxed{k=33}\,.[/tex]
[tex]\rhd[/tex] Quando [tex]k[/tex] for múltiplo de [tex]47[/tex] podemos ter:
[tex]\qquad k=47, \ \ \ k=2\cdot 47, \ \ \ k=3 \cdot 47, \ \ \ \cdots\,.[/tex]
[tex]\rhd[/tex] Quando [tex]14+k[/tex] for múltiplo de [tex]47[/tex] podemos ter:
[tex]\qquad 14+k=47, \ \ \ 14+k=2\cdot 47, \ \ \ 14+k=3 \cdot 47, \ \ \ \cdots\,,[/tex]
donde:
[tex]\qquad k=33, \ \ \ k=80, \ \ \ k=127, \ \ \ \cdots\,.[/tex]
Com esta escolha, obtemos
[tex]\qquad m-2=\dfrac{33\cancel{(14+33)}}{\cancel{47}}=33[/tex],
ou seja, [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m=33+2=35$}\,.[/tex]
Assim, o segundo quadrado perfeito da P.A. ocupa a trigésima quinta posição e, agora, pode ser facilmente calculado:
[tex]\qquad a_{35}=2+(m-1)47=2+34\cdot47= \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1600$}=40^2. [/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.