Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Em um determinado país existe uma nova loteria, nos moldes da Mega-Sena: toda semana são sorteados sete números de [tex]1[/tex] a [tex]69[/tex]. Para um apostador ganhar o prêmio, os sete números sorteados devem estar entre aqueles escolhidos por ele.
Há dois tipos de apostas:
- Opção 1: (Aposta simples) Apostar um cartão com [tex]7[/tex] números. Neste caso, para receber o prêmio, os [tex]7[/tex] números escolhidos pelo apostador devem ser exatamente os sorteados.
- Opção 2: (Aposta múltipla) Apostar [tex]9[/tex] números em um cartão. Neste caso, para receber o prêmio, os [tex]7[/tex] números sorteados devem estar entre os [tex]9[/tex] escolhidos pelo apostador.
a) A aposta simples, na qual o apostador escolhe exatamente [tex]7[/tex] números, custa [tex]1[/tex] dinar. Qual é a probabilidade de um apostador ganhar com esta aposta?
b) Seja [tex]n[/tex] a quantidade de apostas simples que dão a mesma chance de ganhar que uma aposta múltipla. Observe que este número equivale à quantidade de “sétuplas” possíveis entre [tex]9[/tex] números! Calcule [tex]n\,.[/tex]
c) Se a aposta múltipla com a escolha de nove números custa [tex]30[/tex] dinares, é mais barato fazer a aposta múltipla ou [tex]n[/tex] apostas simples?
Solução
a) O total de apostas possíveis nos moldes dessa nova loteria é dado por [tex]\binom{69}{7}=1078897248[/tex]. Desta forma, a probabilidade de um apostador ganhar com uma única aposta é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{1}{\binom{69}{7}}\approx 0,000000093\%$}\,.[/tex]
b) Quando o apostador escolhe nove números, ele passa a concorrer com [tex]\binom{9}{7}=36[/tex] apostas simples distintas.
Assim, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=36%$}\,.[/tex]
c) Como cada aposta simples custa [tex]1[/tex] dinar, um apostador precisaria desembolsar [tex]36[/tex] dinares para fazer as [tex]n=36[/tex] apostas simples. Por outro lado, a aposta múltipla custa [tex]30[/tex] dinares.
Portanto, o jogo múltiplo é mais vantajoso.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.