Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Seja [tex]\dfrac{p}{q}[/tex] a fração irredutível equivalente a [tex]\dfrac{0,272727…}{3,131313…}[/tex], com [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex] inteiros positivos.
Qual o valor de [tex]p+q[/tex]?
Solução
A ideia é encontrar as frações geratrizes de [tex]0,272727…\,[/tex] e [tex]\,3,131313…[/tex] para depois encontrarmos a fração irredutível [tex]\dfrac{p}{q}.[/tex]
- Sendo [tex]\boxed{x = 0,272727…}[/tex], temos [tex]\boxed{100x = 27,272727…}\,[/tex] e, então:
- Agora, sendo [tex]\boxed{y = 3,131313…}[/tex], temos [tex]\boxed{100y = 313,131313…}\,[/tex] e, então:
[tex]\quad 100x-x = 27,272727… – 0,272727…\\
\quad 99x = 27\\
\quad x=\dfrac{27}{99}\\
\quad x = \dfrac{3}{11}.[/tex]
Portanto, a fração geratriz de [tex]0,272727…[/tex] é [tex]\,\dfrac{3}{11}.[/tex]
[tex]\quad 100y-y= 313,131313… – 3,131313…\\
\quad 99y = 310\\
\quad y =\dfrac{310}{99}.[/tex]
Ou seja, a fração geratriz de [tex]3,131313…[/tex] é [tex]\dfrac{310}{99}[/tex].
Logo,
[tex]\quad \dfrac{0,272727…}{3,131313…} = \dfrac{x}{y} = \dfrac{\frac{3}{11}}{\frac{310}{99}} = \dfrac{3}{11}\cdot\dfrac{99}{310} = \dfrac{3}{1}\cdot\dfrac{9}{310} = \dfrac{27}{310}[/tex].
Como [tex]mdc(27,310) = 1[/tex], então[tex]\dfrac{27}{310}[/tex] já é irredutível.
Assim, concluímos que [tex]\boxed{p = 27}\,[/tex] e [tex]\,\boxed{q = 310}\,[/tex] e então [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$p+q = 27+310 = 337$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.