.Problemão: Dez números

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)

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É possível encontrar dez números diferentes tais que o produto de dois quaisquer deles seja divisível pela soma de todos os dez números?

Solução

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Consideremos, inicialmente, um exemplo.
Escolhendo os números [tex]1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6,\, 7,\, 8, \, 9,\, 10[/tex], sua soma será [tex]55[/tex]. Podemos ver que esses números não funcionam, já que [tex]2 \cdot 3[/tex] não é divisível por [tex]55[/tex].
Entretanto, podemos ajustar esses números de modo que os números novos satisfaçam às condições do problema. De fato, basta multiplicar cada número por [tex]55[/tex].
Obteremos, então, os números [tex]\boxed{1 \cdot 55,\, 2\cdot 55,\, 3 \cdot 55,\, \cdots,\, 10 \cdot 55}\,.[/tex]
Vamos conferir!

• A soma desses números é [tex]1 \cdot 55+2\cdot 55+3 \cdot 55+ \cdots + 10 \cdot 55=55 \cdot 55[/tex].
• O produto de dois quaisquer desses números é o produto dos dois números antigos correspondentes multiplicados duas vezes por [tex]55[/tex].

Logo, o produto de dois quaisquer deles é divisível pela soma de todos eles.

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.