Problema
(A partir da 3ª série do E. M.- Nível de dificuldade: Médio)
Seja [tex]k[/tex] um número real e considere as retas [tex] r [/tex] e [tex]s[/tex] assim definidas:
- [tex]r: kx+(k+2)y=k+2[/tex];
- [tex]s: x+ky=-1[/tex].
(a) Determinar os valores de [tex]k[/tex] para os quais as retas [tex] r [/tex] e [tex]s[/tex] são paralelas e, em cada caso, calcular a distância entre elas.
(b) Determinar os valores de [tex]k[/tex] para os quais as retas [tex] r [/tex] e [tex]s[/tex] são perpendiculares.
Lembretes
(1) Ao representarmos uma reta [tex]r[/tex] em um plano cartesiano [tex]xOy[/tex], podemos associar equações a essa reta. Das várias formas de representarmos algebricamente [tex]r[/tex], duas são mais conhecidas:
Equação geral: equação do tipo [tex]\fcolorbox{black}{#E8E8E8}{$ ax+by+c=0$}[/tex] que é satisfeita por todos os pontos [tex]P=(x,y)[/tex] pertencentes a [tex]r.[/tex]
Equação reduzida: equação associada à reta [tex]r[/tex] e que é obtida da sua equação geral, [tex]ax+by+c=0[/tex], se [tex]b\ne 0.[/tex] Relembre:
[tex]ax+by+c=0 \Leftrightarrow by=-ax-c \stackrel{\textcolor{#800000}{b \ne 0}}{\Longrightarrow} y=\underbrace{\left(-\dfrac{a}{b}\right)}_{m}x+\underbrace{\left(-\dfrac{c}{b}\right)}_{n} \Longrightarrow \fcolorbox{black}{#E8E8E8}{$ y=mx+n $}[/tex].
Particularmente, o coeficiente [tex]m[/tex] é denominado o coeficiente angular e [tex]n[/tex] é o coeficiente linear da reta em questão. Geometricamente:
- A condição [tex]b\ne 0[/tex] significa que a reta [tex]r[/tex] não é vertical, ou seja, não é paralela ao eixo [tex]Oy.[/tex] Assim, retas não verticais têm as duas formas de equação: a geral e a reduzida.
- O coeficiente angular [tex]m[/tex] está associado ao declive da reta, isto é, ao ângulo que a reta define com o eixo horizontal [tex]Ox.[/tex]
- O coeficiente linear [tex]n[/tex] está associado ao ponto em que a reta intersecta o eixo [tex]Oy.[/tex]
- A condição [tex]b=0[/tex] significa que a reta [tex]r[/tex] é vertical.
- A condição [tex]a=0[/tex] significa que a reta [tex]r[/tex] é horizontal.
(2) Duas retas não verticais são perpendiculares se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for [tex]-1.[/tex]
(3) Duas retas não verticais são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares forem iguais e seus coeficientes lineares forem distintos.
(4) Retas verticais distintas são sempre paralelas entre si.
(5) Retas horizontais distintas são sempre paralelas entre si.
(6) Uma reta horizontal e uma vertical são sempre perpendiculares e, portanto, nunca paralelas.
(7) A distância de um ponto [tex]P=\left(x_0,y_0\right)[/tex] à reta [tex]r[/tex] é dada a partir da sua equação geral:
[tex]\qquad \qquad d\left(P,r\right)=\dfrac{\,\left| ax_0+by_0+c\right|\,}{\sqrt{a^2+b^2}}\,.[/tex]
Solução
Se as equações das retas [tex]r\,[/tex] e [tex]\,s[/tex] estiverem na forma reduzida, podemos responder aos dois itens do problema analisando os coeficientes angulares dessas retas. Dessa forma, vamos inicialmente analisar nos itens [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] os casos nos quais pelo menos uma das retas é vertical, considerando o plano cartesiano [tex]xOy\,.[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] Se [tex]k=-2[/tex], temos a definição das seguintes retas:
[tex]\qquad r: -2x=0[/tex];
[tex]\qquad s: x-2y=-1[/tex].
Nesse caso, [tex]r[/tex] é o próprio eixo [tex]Oy[/tex] e [tex]s[/tex] tem uma equação reduzida.
[tex]\qquad r: x=0[/tex];
[tex]\qquad s: y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}[/tex].
Assim, as retas [tex]r\,[/tex] e [tex]\,s[/tex] não são paralelas e nem perpendiculares; ou seja [tex]r\,[/tex] e [tex]\,s[/tex] são oblíquas.
[tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] Se [tex]k=0[/tex], temos a definição das seguintes retas:
[tex]\qquad r: 2y=2[/tex];
[tex]\qquad s: x=-1[/tex].
Nesse caso, [tex]r[/tex] é uma reta horizontal e [tex]s[/tex] é vertical:
[tex]\qquad r: y=1[/tex];
[tex]\qquad s: x=-1[/tex];
logo, as retas [tex]r\,[/tex] e [tex]\,s[/tex] são perpendiculares.
[tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] Se [tex]k \ne -2[/tex] e [tex]k \ne 0[/tex], as retas [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex] não são verticais e, portanto, ambas têm equação reduzida:
[tex]\qquad r:y=-\dfrac{k}{k+2}\,x+1[/tex];
[tex]\qquad s: y=-\dfrac{1}{k}\,x-\dfrac{1}{k}[/tex].
Neste caso, note que:
- Para as retas [tex]r\,[/tex] e [tex]\,s[/tex] temos que:
- Para [tex]k=2[/tex], [tex]\boxed{-\dfrac{1}{k}=-\dfrac{1}{2}\ne 1}\,[/tex]
- Para [tex]k=-1[/tex], [tex]\boxed{-\dfrac{1}{k}=-\dfrac{1}{(-1)}= 1}\,[/tex]
- Para as retas [tex]r\,[/tex] e [tex]\,s[/tex] temos que:
[tex]\qquad r \parallel s \iff \boxed{-\dfrac{k}{k+2}=-\dfrac{1}{k}}\, \text{ e }\, \boxed{-\dfrac{1}{k}\ne 1}\,.[/tex]
| Para determinar o valor de [tex]k[/tex] tal que [tex]-\dfrac{k}{k+2}=-\dfrac{1}{k}[/tex], segue que: [tex]\qquad \dfrac{k}{k+2}=\dfrac{1}{k}\\ \qquad k^2=k+2\\ \qquad k^2-k-2=0\\ \qquad k=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}\\ \qquad k=\dfrac{1\pm 3}{2}\\ \qquad \boxed{k=2} \text{ ou } \boxed{k=-1}\,.\\ [/tex] |
Aqui, observe que:
e neste caso [tex]r\,[/tex] e [tex]\,s[/tex] são paralelas. e neste caso [tex]r\,[/tex] e [tex]\,s[/tex] são coincidentes. |
Como para [tex]k=2[/tex] as retas [tex]r\,[/tex] e [tex]\,s[/tex] são paralelas, vamos calcular a distância entre essas retas. Observe que, quando [tex]k=2[/tex], as equações gerais de [tex]r\,[/tex] e [tex]\,s[/tex] são:
[tex]\qquad r: 2x+4y-4=0[/tex]
[tex]\qquad s: x+2y+1=0[/tex].
Podemos calcular a distância entre duas retas paralelas calculando a distância de um ponto qualquer de uma delas à outra. Assim, tomaremos um ponto de [tex]r[/tex], por exemplo [tex]P=(0,1)[/tex], e calcularemos a distância de [tex]P[/tex] a [tex]s[/tex].
Vejamos:
[tex]\quad \begin{align*}d(r,s)=d(P,s)&=\dfrac{\left|0+2\cdot 1+1\right|}{\sqrt{1^1+2^2}}\\
&=\dfrac{3}{\sqrt{5}}\\
&=\boxed{\dfrac{3\sqrt{5}}{5}}\,.
\end{align*}[/tex]
[tex]\qquad r \perp s \iff \boxed{\left(-\dfrac{k}{k+2}\right)\times \left(-\dfrac{1}{k}\right)=-1}\,.[/tex]
Para determinar o valor de [tex]k[/tex] tal que [tex]\left(-\dfrac{k}{k+2}\right)\times \left(-\dfrac{1}{k}\right)=-1[/tex], segue que:
[tex]\qquad \dfrac{\cancel{k}}{k+2}\times \dfrac{1}{\cancel{k}}=-1\\
\qquad \dfrac{1}{k+2}=-1\\
\qquad k+2=-1\\
\qquad \boxed{k=-3}\,.
[/tex]
Concluindo:
(a) As retas [tex]r\,[/tex] e [tex]\,s[/tex] são paralelas apenas para [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$k=2$}\,.[/tex]
Nesse caso, a distância entre essas retas é [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\text{ unidades de comprimento}$}\,.[/tex]
(b) As retas [tex]r\,[/tex] e [tex]\,s[/tex] são perpendiculares para [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$k=0$}[/tex] e para [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$k=-3$}\,.[/tex]
Você pode utilizar o applet abaixo para visualizar as retas [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex] definidas para alguns valores de [tex]k[/tex]. Particularmente é possível visualizar as retas perpendiculares, paralelas e coincidentes detalhadas na solução.
Um applet para ajudar
Instruções:
(1) Espere o applet carregar. (Ele pode demorar um pouquinho para carregar.)
(2) Movimente o ponto da cor magenta que aparece na parte inferior esquerda da janela do aplicativo. Para cada valor de [tex]\textcolor{#FF00FF}{k}[/tex] selecionado você visualizará as retas correspondentes às equações definidas pelo valor escolhido. Na parte superior direita da janela do aplicativo, você poderá visualizar as equações.
(3) Para movimentar o ponto da cor magenta ([tex]\textcolor{#FF00FF}{\bullet}[/tex]), clique sobre ele com o botão esquerdo do mouse, mantenha o mouse pressionado e faça o movimento. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, toque levemente no ponto e movimente-o.)
OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra
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