Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Bruno viaja com sua esposa e seus três filhos para o Nordeste brasileiro, na intenção de curtir o feriadão. No trajeto decidem parar num restaurante e fazer uma refeição. Todos possuem o mesmo modelo de aparelho celular e no restaurante deixam todos os aparelhos guardados na mochila de um dos filhos. Terminada a refeição, cada familiar pega ao acaso um aparelho celular na mochila.
Qual a probabilidade de que nenhum deles pegue o próprio celular?
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Antes de resolver este problema, seria interessante você passar nesta Sala de Estudo . |
Solução
- Inicialmente, vamos calcular o número total de possíveis maneiras de se retirar os celulares de dentro da mochila.
- Primeira pessoa a retirar o celular da mochila: [tex]5[/tex] opções de retirada;
- Segunda pessoa a retirar o celular da mochila: [tex]4[/tex] opções de retirada;
- Terceira pessoa a retirar o celular da mochila: [tex]3[/tex] opções de retirada;
- Quarta pessoa a retirar o celular da mochila: [tex]2[/tex] opções de retirada e
- Quinta pessoa a retirar o celular da mochila: [tex]1[/tex] opção de retirada.
- Agora, vamos calcular o número de retiradas em que nenhuma pessoa fica com o seu próprio aparelho.
Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos [tex]\boxed{5\cdot 4 \cdot 3\cdot 2 \cdot 1=120}\,[/tex] modos de retiradas dos celulares de dentro da mochila.
Se você passou na Sala de Estudo que indicamos, fica claro que essa contagem trata-se de uma Permutação Caótica (Desarranjo) com [tex]5[/tex] elementos.
Portanto, nenhuma pessoa fica com seu aparelho em [tex]\,\boxed{D_{5}=5!\cdot\left[ \dfrac{1}{0!} – \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} – \dfrac{1}{3!} + \dfrac{1}{4!} – \dfrac{1}{5!}\right]=44}\,[/tex] possíveis retiradas.
Como todas as retiradas são igualmente prováveis, a probabilidade [tex]P[/tex] de que nenhum dos cinco pegue o seu próprio celular pode ser calculada utilizando-se a fórmula:
[tex]\,\\
\qquad \qquad P=\dfrac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número de casos possíveis}}\,.[/tex]
Assim, neste caso, [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$P=\dfrac{44}{120}=\dfrac{11}{30}\approx 0,37$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.