Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Prove, por argumentos combinatórios, que:
[tex]\qquad \qquad \dbinom{\,n\,}{0}^2+\dbinom{\,n\,}{1}^2+\dbinom{\,n\,}{2}^2+\dots+\dbinom{\,n\,}{n-1}^2+\dbinom{\,n\,}{n}^2=\dbinom{\,2n\,}{n}[/tex],
sendo [tex]n\ge 0 [/tex] um número inteiro.
PAPMEM – Adaptado.
Solução
Sabemos que [tex]{\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)}={\left( \begin{array}{c} n \\ n-k \end{array} \right)}[/tex] (combinações complementares); logo, segue que:
[tex]\quad {\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)^{2}}={\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)}\cdot{\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)}\\
\quad \boxed{{\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)^{2}}={\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)}\cdot{\left( \begin{array}{c} n \\ n- k \end{array} \right)}}\,.[/tex]
Com isso, a expressão
[tex]\qquad {\left( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right)}^{2}+{\left( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right)}^{2}+{\left( \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right)}^{2}+\dots +{\left( \begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array} \right)}^{2}+ {\left( \begin{array}{c} n \\ n \end{array} \right)}^{2}[/tex]
pode ser reescrita como:
[tex]\qquad {\left( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right)}\cdot{\left( \begin{array}{c} n \\ n \end{array} \right)}+{\left( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right)}\cdot{\left( \begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array} \right)}+{\left( \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right)}\cdot{\left( \begin{array}{c} n \\ n-2 \end{array} \right)}+\dots\\
\qquad \quad \dots +{\left( \begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array} \right)}\cdot{\left( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right)}+ {\left( \begin{array}{c} n \\ n \end{array} \right)}\cdot {\left( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right)}\,.\\
\,[/tex]
Uma maneira para fazer essa soma é interpretá-la como a solução do seguinte problema de contagem:
- Quantas comissões com [tex]n[/tex] pessoas podem ser formadas a partir de um grupo com [tex]n[/tex] mulheres e [tex]n[/tex] homens?
Vejamos:
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] Se a comissão tiver [tex]k[/tex] mulheres, deverá ter [tex]n-k[/tex] homens, e há [tex] {\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)}\cdot {\left( \begin{array}{c} n \\ n-k \end{array} \right)}[/tex] maneiras de formá-la.
Como o número de mulheres na comissão varia de [tex]0[/tex] a [tex]n[/tex], o total de comissões é igual ao resultado da soma acima.
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] Por outro lado, temos um grupo de [tex]2n[/tex] pessoas e queremos formar um grupo com [tex]n[/tex] pessoas. Isso pode ser feito de [tex] {\left( \begin{array}{c} 2n \\ n\end{array} \right)}[/tex] modos diferentes.
Logo, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}\,[/tex] e [tex]\,\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que:
[tex]{\left( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right)}^{2}+{\left( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right)}^{2}+{\left( \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right)}^{2}+\dots +{\left( \begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array} \right)}^{2}+ {\left( \begin{array}{c} n \\ n \end{array} \right)}^{2}={\left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right)}\,.[/tex]
Caso você queria resolver este problema de uma forma "mais algébrica", leia a solução deste problema.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.