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.Problema Olímpico – Nível B: Somando somas – 1

Problema


Se n é um inteiro positivo, denotaremos por S(n) a soma dos algarismos de n.
Por exemplo, S(271)=10  e  S(12345)=15.
Determine n tal que n+S(n)+S(S(n))=1993.

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Solução


Na resolução deste problema, utilizaremos duas conhecidas propriedades sobre restos de uma divisão por 3.
 

(*) Propriedade 1: Seja n um número inteiro positivo e seja S(n) a soma dos algarismos de n. Então n e S(n) deixam o mesmo resto quando divididos por 3.
Para você entender melhor, considere a representação decimal do número n:
n=(amam1a2a1a0)10n=am10m+am110m1++a2102+a1101+a0.
O que estamos afirmando é que o resto da divisão de n por 3 é o mesmo resto da divisão de am+am1++a2+a1+a0 por 3.

n   3 am+am1++a2+a1+a0   3
r q1 r q2

 

(*) Propriedade 2: Se a, b e c deixam o mesmo resto quando divididos por 3, então a+b+c é um número múltiplo de 3.
Veja as divisões:

a 3 b 3 c 3 a+b+c 3
r q1 r q2 r q3 0 q4


Com base na Propriedade 1, se n é um inteiro positivo, então o resto da divisão de n por 3 é igual ao resto da divisão de S(n) por 3; e, também, o resto da divisão de S(n) por 3 é igual ao resto da divisão de S(S(n)) por 3.
Assim, o resto da divisão dos números n, S(n) e S(S(n)) por 3 é o mesmo e, portanto, pela Propriedade 2, a soma n+S(n)+S(S(n)) é divisível por 3.
Como 1993 não é divisível por 3, não existe um número inteiro positivo n tal que n+S(n)+S(S(n))=1993.

(*)Tente justificar as propriedades 1 e 2.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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