Problema
Se n é um inteiro positivo, denotaremos por S(n) a soma dos algarismos de n.
Por exemplo, S(271)=10 e S(12345)=15.
Determine n tal que n+S(n)+S(S(n))=1993.
★★★
Solução
Na resolução deste problema, utilizaremos duas conhecidas propriedades sobre restos de uma divisão por 3.
(*) Propriedade 1: Seja n um número inteiro positivo e seja S(n) a soma dos algarismos de n. Então n e S(n) deixam o mesmo resto quando divididos por 3.
Para você entender melhor, considere a representação decimal do número n:
n=(amam−1⋯a2a1a0)10n=am10m+am−110m−1+⋯+a2102+a1101+a0.
O que estamos afirmando é que o resto da divisão de n por 3 é o mesmo resto da divisão de am+am−1+⋯+a2+a1+a0 por 3.
n | 3 | am+am−1+⋯+a2+a1+a0 | 3 | |
r | q1 | r | q2 |
(*) Propriedade 2: Se a, b e c deixam o mesmo resto quando divididos por 3, então a+b+c é um número múltiplo de 3.
Veja as divisões:
a | 3 | b | 3 | c | 3 | a+b+c | 3 |
r | q1 | r | q2 | r | q3 | 0 | q4 |
Com base na Propriedade 1, se n é um inteiro positivo, então o resto da divisão de n por 3 é igual ao resto da divisão de S(n) por 3; e, também, o resto da divisão de S(n) por 3 é igual ao resto da divisão de S(S(n)) por 3.
Assim, o resto da divisão dos números n, S(n) e S(S(n)) por 3 é o mesmo e, portanto, pela Propriedade 2, a soma n+S(n)+S(S(n)) é divisível por 3.
Como 1993 não é divisível por 3, não existe um número inteiro positivo n tal que n+S(n)+S(S(n))=1993.
(*)Tente justificar as propriedades 1 e 2.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.