Problema
Se [tex]n[/tex] é um inteiro positivo, denotaremos por [tex]S(n)[/tex] a soma dos algarismos de [tex]n[/tex].
Por exemplo, [tex]S(271)=10~[/tex] e [tex]~S(12345)=15[/tex].
Determine [tex]n[/tex] tal que [tex]n+S(n)+S(S(n))=1993[/tex].
★★★
Solução
Na resolução deste problema, utilizaremos duas conhecidas propriedades sobre restos de uma divisão por [tex]3[/tex].
(*) Propriedade 1: Seja [tex]n[/tex] um número inteiro positivo e seja [tex]S(n)[/tex] a soma dos algarismos de [tex]n[/tex]. Então [tex]n[/tex] e [tex]S(n)[/tex] deixam o mesmo resto quando divididos por [tex]3[/tex].
Para você entender melhor, considere a representação decimal do número [tex]n[/tex]:
[tex]\;n=\left(a_ma_{m-1}\cdots a_2a_1a_0\right)_{10}\\
\; n=a_m10^m+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots+a_210^2+a_110^1+a_0\,.[/tex]
O que estamos afirmando é que o resto da divisão de [tex]n[/tex] por [tex]3[/tex] é o mesmo resto da divisão de [tex]a_m+a_{m-1}+\cdots +a_2+a_1+a_0[/tex] por [tex]3[/tex].
| [tex]n \, \, [/tex] | [tex]3[/tex] | [tex]\qquad a_m+a_{m-1}+\cdots +a_2+a_1+a_0[/tex] | [tex]3[/tex] | |
| [tex]r[/tex] | [tex] \, \, \, q_1[/tex] | [tex]r[/tex] | [tex] \, \, \, q_2[/tex] |
(*) Propriedade 2: Se [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c \, [/tex] deixam o mesmo resto quando divididos por [tex]3[/tex], então [tex]a+b+c \, [/tex] é um número múltiplo de [tex]3[/tex].
Veja as divisões:
| [tex]\quad a \, \, [/tex] | [tex]3[/tex] | [tex]\quad \, \, b[/tex] | [tex]3[/tex] | [tex]\quad \, \, \, \, c[/tex] | [tex]3[/tex] | [tex] \quad \, \, \, \, \, \, a+b+c[/tex] | [tex]3[/tex] |
| [tex]\quad r[/tex] | [tex]q_1[/tex] | [tex]\quad r[/tex] | [tex]q_2[/tex] | [tex] \quad \, \, \, \, r[/tex] | [tex]q_3[/tex] | [tex]\quad 0[/tex] | [tex]q_4[/tex] |
Com base na Propriedade 1, se [tex]n[/tex] é um inteiro positivo, então o resto da divisão de [tex]n[/tex] por [tex]3[/tex] é igual ao resto da divisão de [tex]S(n)[/tex] por [tex]3[/tex]; e, também, o resto da divisão de [tex]S(n)[/tex] por [tex]3[/tex] é igual ao resto da divisão de [tex]S(S(n))[/tex] por [tex]3[/tex].
Assim, o resto da divisão dos números [tex]n[/tex], [tex]S(n)\;[/tex] e [tex]\;S(S(n))[/tex] por [tex]3[/tex] é o mesmo e, portanto, pela Propriedade 2, a soma [tex]n+S(n)+S(S(n))[/tex] é divisível por [tex]3[/tex].
Como [tex]1993[/tex] não é divisível por [tex]3[/tex], não existe um número inteiro positivo [tex]n[/tex] tal que [tex]\fbox{$n+S(n)+S(S(n))=1993$}[/tex].
(*)Tente justificar as propriedades 1 e 2.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.