Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Um monte de [tex]29[/tex] palitos está sobre uma mesa. Fábio e Antônio realizam o seguinte jogo:
- Em cada jogada é permitido retirar um ou dois palitos do monte. Perde o jogo quem ficar sem jogada, isto é, na sua vez de jogar não houver mais palitos.
Qual a estratégia para Fábio ganhar, se é ele quem inicia o jogo?
Adaptado de Olimpíada Capixaba – Nível 1, 2ª Fase- 2003.
Solução
◉ Para ganhar o jogo, Fábio deve aplicar a seguinte estratégia:
► Na primeira jogada, retirar [tex]2[/tex] palitos.
► Depois, a cada jogada, "se Antônio retirar [tex]1[/tex] palito, Fábio deve retirar [tex]2[/tex]"; "se Antônio retirar [tex]2[/tex] palitos, Fábio deve retirar [tex]1[/tex]".
De fato, desse modo Fábio sempre entrega para Antônio um monte contendo um número de palitos que é múltiplo de [tex]3[/tex]. Ao final, depois da décima nona jogada, o monte de palitos acaba na jogada de Fábio, que ganha o jogo.
◉ Caso Fábio retire [tex]1[/tex] palito na primeira jogada, Antônio pode retirar [tex]1[/tex] palito na segunda jogada e aplicar a mesma estratégia anterior. Neste caso, Antônio irá ganhar de Fábio na vigésima jogada.
Um applet para ajudar
Você pode utilizar o applet abaixo para se divertir e testar estratégias para o confronto Fábio X Antônio!
Instruções:
(1) Espere o applet carregar. (O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.)
(2) Para mover um palito, clique sobre ele, mantenha o mouse pressionado e arraste-o.
(3) Se quiser voltar para a configuração inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do aplicativo.
OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.