Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Encontre o algarismo das unidades do número [tex]7^{77}-3^{33}[/tex].
Adaptado: UFRGS – 2015.
Solução
Observe que
[tex]\qquad \qquad
\begin{equation}
\begin{split}
3^1 &= \textcolor{blue}{3}\\
3^2 &= \textcolor{red}{9}\\
3^3 &= 2\textcolor{orange}{7}\\
3^4 &= 8\textcolor{green}{1}\\
3^5 &= 24\textcolor{blue}{3}\\
3^6 &= 72\textcolor{red}{9}\\
\vdots
\end{split}
\end{equation}\\
\,[/tex]
e perceba que as potências cujos expoentes são múltiplos de [tex]4[/tex] possuem algarismo das unidades igual a [tex]1[/tex]. Como [tex]32 = 4\times 8[/tex], então o algarismo das unidades de [tex]3^{32}[/tex] é [tex]1[/tex]. Portanto, [tex]3^{33}[/tex] tem o último algarismo igual a [tex]3[/tex], já que [tex]3^{33}=3^{32}\times 3\,.[/tex]
Agora, veja que
[tex]\qquad \qquad
\begin{equation}
\begin{split}
7^1 &= \textcolor{blue}{7}\\
7^2 &= 4\textcolor{red}{9}\\
7^3 &= 34\textcolor{orange}{3}\\
7^4 &= 2\;40\textcolor{green}{1}\\
7^5 &= 16\;80\textcolor{blue}{7}\\
7^6 &= 117\;64\textcolor{red}{9}\\
\vdots
\end{split}
\end{equation}\\
\,[/tex]
De maneira análoga, podemos ver que as potências cujos expoentes são múltiplos de [tex]4[/tex] possuem algarismo das unidades igual a [tex]1[/tex]. Como [tex]76 = 4\times 19[/tex], então o algarismo das unidades de [tex]7^{76}[/tex] é [tex]1[/tex] e portanto, [tex]7^{77}[/tex] tem o último algarismo igual a [tex]7[/tex], pois [tex]7^{77}=7^{76} \times 7\,.[/tex]
Logo, o algarismo das unidades de [tex]7^{77}-3^{33}[/tex] é [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$7-3 = 4$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.