Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Na expressão [tex]\dfrac{x+2}{x-2}[/tex], substituímos cada [tex]x[/tex] por [tex]\dfrac{x+2}{x-2}[/tex].
Qual é o valor resultante se substituirmos, na expressão obtida, [tex]x[/tex] por [tex]\dfrac{1}{3}[/tex]?
Adaptado de UNMSM – 88.
Solução
Se na expressão [tex]\dfrac{x+2}{x-2}[/tex] substituirmos cada [tex]x[/tex] por [tex]\dfrac{x+2}{x-2}[/tex], obtemos:
[tex]\,\\
\quad \begin{align*}\dfrac{\dfrac{x+2}{x-2}+2}{\dfrac{x+2}{x-2}-2}&=\dfrac{\dfrac{x+2}{x-2}+\dfrac{2(x-2)}{x-2}}{\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{2(x-2)}{x-2}}\\
\,\\
&=\dfrac{\dfrac{x+2+2x-4}{x-2}}{\dfrac{x+2-2x+4}{x-2}}\\
\,\\
&=\dfrac{\dfrac{3x-2}{x-2}}{\dfrac{6-x}{x-2}}\\
\,\\
&=\dfrac{3x-2}{\cancel{x-2}}\cdot \dfrac{\cancel{x-2}}{6-x}\\
\,\\
&=\boxed{\dfrac{3x-2}{6-x}}\,.\\
\,
\end{align*}[/tex]
Substituindo [tex]x=\frac{1}{3}[/tex] na expressão final obtida, segue que:
[tex]\quad \dfrac{3x-2}{6-x}=\dfrac{3\cdot \frac{1}{3}-2}{6-\frac{1}{3}}=\dfrac{-1}{\frac{17}{3}}=-\dfrac{3}{17}[/tex]
e, assim, o valor obtido com a substituição proposta foi [tex] \,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$-\,\dfrac{3}{17}$}\,.[/tex]
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