Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Uma fila para receber um auxílio está sendo formada e, de acordo com um matemático, as senhas distribuídas para as pessoas dessa fila formam uma progressão aritmética cuja soma dos [tex]n[/tex] primeiros termos é dada pela seguinte lei de formação:
- [tex]\boxed{S_n = n\cdot(2n+1)}[/tex], com [tex] n \geq 1[/tex].
Qual é o número da senha da vigésima pessoa da fila?
(Adaptado de: MACHADO, A.S.; Tema e Metas: Trigonometria e progressão, Atual, 1986, SP)
Lembretes e notações
[tex]\textcolor{#800000}{(1)}\;[/tex] Dada a PA [tex]\left(a_1,a_2,\cdots,a_n, \cdots\right)[/tex] de razão [tex]r[/tex], denotamos a soma de seus [tex]n[/tex] primeiros termos por
[tex]\qquad S_{n} = a_1 + a_2 + \dots + a_{n}[/tex].
Neste caso, valem as seguintes igualdades:
[tex]\textcolor{#800000}{(2)}\;[/tex] [tex]S_{n}= \dfrac{(a_{1}+a_{n} )\cdot n}{2}[/tex].
[tex]\textcolor{#800000}{(3)}\;[/tex] [tex]a_{n}=a_{1}+ (n-1)\cdot r[/tex].
Solução 1
Vamos denotar por [tex]\left(a_1,a_2,\cdots,a_n, \cdots\right)[/tex] a progressão aritmética correspondente às senhas distribuídas para as pessoas que estão na fila de espera para o recebimento do auxílio.
De acordo com as informações do problema, a lei de formação que descreve a soma [tex]S_n[/tex] dos [tex]n[/tex] primeiros termos dessa PA é dada por
[tex]\qquad S_n = n\cdot(2n+1)\,.[/tex]
- De [tex]\textcolor{#800000}{(1)}\;[/tex] tem-se que:
[tex]\quad S_1 = a_{1}[/tex]
e, de acordo com a lei de formação da PA,
[tex]\quad S_1 = 1 \cdot (2 \cdot 1+1)[/tex].
Logo, [tex]a_1=3[/tex]. - Segue de [tex]\textcolor{#800000}{(2)}\;[/tex] que
[tex]\quad S_{20}= \dfrac{(3+a_{20})\cdot 20}{2}[/tex]
e, também pela lei de formação da PA,
[tex]\quad S_{20}=20 \cdot (2 \cdot 20 +1)=20 \cdot 41 = 820[/tex].
Com isso:
[tex] \quad 820=\dfrac{(3+a_{20})\cdot 20}{2}\\
\quad 820= (3+ a_{20}) \cdot 10 \\
\quad 3+a_{20} = \dfrac{820}{10} \\
\quad 3 + a_{20}=82 \\
\quad a_{20} = 82-3=79\,.[/tex]
Portanto, o número da vigésima senha é igual a [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$79$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Seja [tex]\left(a_1,a_2,\cdots,a_n, \cdots\right)[/tex] uma progressão aritmética cuja soma é dada pela lei de formação:
[tex]\qquad S_n = n(2n+1)\,. \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Como [tex]S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n-1} + a_{n}[/tex], segue que, para [tex]n \gt 1[/tex]:
[tex]\qquad S_{n} – S_{n-1} = \left( a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n-1} + a_{n} \right) – \left( a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n-1} \right)[/tex]
[tex]\qquad S_{n} – S_{n-1} = \textcolor{red}{\cancel{a_{1}}} + \textcolor{blue}{\cancel{a_{2}}} + \dots +\textcolor{#ff3fe3}{\cancel{a_{n-1}}} + a_{n}- \textcolor{red}{\cancel{a_{1}}} -\textcolor{blue}{\cancel{a_{2}}} – \dots – \textcolor{#ff3fe3}{\cancel{a_{n-1}}} [/tex]
[tex]\qquad S_{n} – S_{n-1} = a_n[/tex],
donde temos que:
[tex] \qquad S_{20\,} – S_{19}= a_{20}\,. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Mas, particularmente de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] , segue que:
[tex] \qquad S_{20} = 20 \cdot (2 \cdot 20 +1) = 20 \cdot 41 = 820[/tex];
e
[tex] \qquad S_{19} = 19 \cdot (2 \cdot 19 +1) = 19 \cdot 39 = 741[/tex].
Assim, de [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], concluímos que:
[tex]\qquad a_{20}= 820-741 =79[/tex].
Portanto, o número da vigésima senha é igual a [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$79$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.