Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
(VI Olimpíada Rioplatense – Adaptado) Qual é o menor múltiplo natural de [tex]99[/tex] que começa e termina com [tex]97[/tex]?
Lembretes
[tex]\textcolor{#800000}{\textbf{(I)}}[/tex] Um número natural é divisível por [tex]9[/tex] se, e somente se, a soma dos valores absolutos de seus algarismos resulta em um número divisível por [tex]9[/tex].
[tex]\textcolor{#800000}{\textbf{(II)}}[/tex] Um número natural é divisível por [tex]11[/tex] se, e somente se, a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par for um número divisível por [tex]11[/tex]. As ordens ímpares e pares devem ser definidas da direita para esquerda.
Solução
Seja [tex]N[/tex] o número desejado; assim, [tex]N=\underline{9} \underline{7}\underline{}\cdots\underline{}\underline{9}\underline{7}\,.[/tex]
Como [tex]N[/tex] deve ser divisível por [tex]99[/tex] e [tex]99=9\cdot 11[/tex], então [tex]N[/tex] deve ser divisível por [tex]9[/tex] e [tex]11[/tex]. Para encontrar o número [tex]N[/tex], vamos considerar os casos em que entre o primeiro e o último [tex]97[/tex] existam [tex]0[/tex] ou [tex]1[/tex] ou [tex]2[/tex], e assim por diante, algarismos, nessa ordem, e verificar as informações dos [tex]\textcolor{#800000}{\textbf{Lembretes (I)}}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{\textbf{(II)}}[/tex].
[tex]\textbf{Caso (1):}[/tex] [tex]N=9797[/tex], isto é, um número com quatro algarismos.
Pelo [tex]\textcolor{#800000}{\textbf{Lembrete (I)}}[/tex], [tex]N[/tex] deve ser divisível por [tex]9[/tex]; mas isso não acontece, pois [tex]9+7+9+7=32[/tex] e [tex]32[/tex] não é divisível por [tex]9\,.[/tex]
[tex]\textbf{Caso (2):}[/tex] [tex]N=97a97[/tex], com [tex]a\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/tex].
Do [tex]\textcolor{#800000}{\textbf{Lembrete (I)}}[/tex], para que [tex]N=97a97[/tex] seja divisível por [tex]9[/tex], a soma [tex]9+7+a+9+7[/tex] deve ser um número divisível por [tex]9[/tex], então a única opção é [tex]a=4[/tex]. Agora, vamos verificar se [tex]N=97497[/tex] é divisível por [tex]11[/tex], ou seja, vamos utilizar o [tex]\textcolor{#800000}{\textbf{Lembrete (II)}}\,.[/tex] Observe que
| [tex]9[/tex] | [tex]7[/tex] | [tex]4[/tex] | [tex]9[/tex] | [tex]7[/tex] | ||||
| posição [tex]5[/tex] | posição [tex]4[/tex] | posição [tex]3[/tex] | posição [tex]2[/tex] | posição [tex]1[/tex] |
e [tex](9+4+7)-(7+9)=20-16=4[/tex].
Como [tex]4[/tex] não é divisível por [tex] 11[/tex], então [tex]N=97497[/tex] não é divisível por [tex]11[/tex]. Então, [tex]N=97497[/tex] não é divisível por [tex]99[/tex].
[tex]\textbf{Caso (3):}[/tex] [tex]N=97ab97[/tex], com [tex]a,b\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/tex].
Do [tex]\textcolor{#800000}{\textbf{Lembrete (I)}}[/tex], para que [tex]N=97ab97[/tex] seja divisível por [tex]9[/tex], a soma [tex]9+7+a+b+9+7[/tex] deve ser um número divisível por [tex]9[/tex]. Como [tex]9+7+9+7=32[/tex] e [tex]a,b\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/tex], para que a soma [tex]9+7+a+b+9+7[/tex] seja divisível por [tex]9[/tex] temos duas situações possíveis: [tex]\boxed{a+b=4}\,[/tex] ou [tex]\,\boxed{a+b=13}\,[/tex] e, com isso, temos onze opções para [tex]N[/tex], escritas a seguir, já devidamente ordenadas:
- [tex]N=970497[/tex]
- [tex]N=974097[/tex]
- [tex]N=971397[/tex]
- [tex]N=973197[/tex]
- [tex]N=972297[/tex]
- [tex]N=974997[/tex]
- [tex]N=979497[/tex]
- [tex]N=975897[/tex]
- [tex]N=978597[/tex]
- [tex]N=976797[/tex]
- [tex]N=977697[/tex].
Para cada opção devemos verificar o [tex]\textcolor{#800000}{\textbf{Lembrete (II)}}[/tex].
[tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] [tex]N=970497[/tex]
Observe que
| [tex]9[/tex] | [tex]7[/tex] | [tex]0[/tex] | [tex]4[/tex] | [tex]9[/tex] | [tex]7[/tex] | |||||
| posição [tex]6[/tex] | posição [tex]5[/tex] | posição [tex]4[/tex] | posição [tex]3[/tex] | posição [tex]2[/tex] | posição [tex]1[/tex] |
e [tex](7+4+7)-(9+0+9)=18-18=0[/tex]. Como [tex]0[/tex] é divisível por [tex] 11[/tex], então [tex]N=970497[/tex] é divisível por [tex]11[/tex].
Consequentemente, [tex]N=970497[/tex] é divisível por [tex]99[/tex].
Como [tex]970497[/tex] é o menor número de seis algarismos que satisfaz as condições do problema e não existem números com menos algarismos que satisfaçam tais condições, a resposta do problema é [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$N=970497$}\,.[/tex]
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