Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Calcule o [tex]131^\circ[/tex] termo da sequência [tex]1, 2, 7, 8, 13, 14, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 37, 38, 43, 44, 49, 50, \dots[/tex]
Extraído de: Manual de Progressões– Luís Lopes.
Solução
Vamos denotar por [tex](a_n)[/tex] a sequência dada no problema e vamos reescrevê-la destacando alguns de seus termos iniciais:
[tex]\qquad \qquad (a_n)=\left(\textcolor{#FF0000}{1},2,\textcolor{#FF0000}{7},8, \textcolor{#FF0000}{13},14,\textcolor{#FF0000}{19},20, \textcolor{#FF0000}{25}, 26, \textcolor{#FF0000}{31}, 32, \textcolor{#FF0000}{37}, 38, \textcolor{#FF0000}{43}, 44, \textcolor{#FF0000}{49}, 50, \dots\right)\,.[/tex]
Observe que os elementos em vermelho, a saber: [tex] \textcolor{#FF0000}{1}, \textcolor{#FF0000}{7}, \textcolor{#FF0000}{13}, \textcolor{#FF0000}{19}, \textcolor{#FF0000}{25}, \textcolor{#FF0000}{31}, \textcolor{#FF0000}{37}, \textcolor{#FF0000}{43}, \textcolor{#FF0000}{49}, \dots[/tex] definem uma progressão aritmética [tex](b_n)[/tex] de razão [tex]6\,.[/tex]
Perceba, agora, que o primeiro termo da sequência [tex](a_n)[/tex] corresponde ao primeiro termo da sequência [tex](b_n)[/tex]; o terceiro termo da [tex](a_n)[/tex] corresponde ao segundo termo da sequência [tex](b_n)[/tex]; o quinto termo da [tex](a_n)[/tex] corresponde ao terceiro termo da sequência [tex](b_n)[/tex], e assim por diante. Vamos escrever numericamente essa correspondência entre os termos de [tex](a_n)[/tex] e [tex](b_n)[/tex] para tentarmos estabelecer um padrão:
[tex]\qquad a_1=\textcolor{#FF0000}{b_1}\;[/tex] e [tex]\;\left(\dfrac{1-1}{2}+1 \right)=\textcolor{#FF0000}{1}[/tex];
[tex]\qquad a_3=\textcolor{#FF0000}{b_2}\;[/tex] e [tex]\;\left(\dfrac{3-1}{2}+1 \right)=\textcolor{#FF0000}{2}[/tex];
[tex]\qquad a_5=\textcolor{#FF0000}{b_3}\;[/tex] e [tex]\;\left(\dfrac{5-1}{2}+1 \right)=\textcolor{#FF0000}{3}[/tex];
[tex]\qquad a_7=\textcolor{#FF0000}{b_4}\;[/tex] e [tex]\;\left(\dfrac{7-1}{2}+1 \right)=\textcolor{#FF0000}{4}[/tex].
Com isso, o elemento [tex]a_{131}[/tex] corresponderá ao termo [tex]\textcolor{#FF0000}{\dfrac{131-1}{2}+1=66}\,[/tex] de [tex]\,(b_n)[/tex], ou seja, [tex]\boxed{a_{131}=\textcolor{#FF0000}{b_{66}}}\;.[/tex]
Dessa forma, para determinarmos o [tex]131^\circ[/tex] termo da sequência [tex](a_n)[/tex], basta calcularmos o [tex]66^\circ[/tex] termo da sequência [tex](b_n)[/tex]. Vamos lá!
A sequência [tex](b_n)[/tex] é uma progressão aritmética cujo primeiro termo é [tex]b_1=1[/tex] e a razão é [tex]r=6[/tex]; portanto:
[tex]\qquad b_{66}=b_1+(66-1)\cdot r=1+65\cdot 6=391.[/tex]
Portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a_{131}=b_{66}=391$}\;.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.