Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Sabendo que
- [tex](x + 2y\;,\; 3x − 5y\;,\; 8x − 2y\;,\; 11x − 7y + 2z)[/tex]
é uma progressão aritmética com o último termo igual a [tex]−127[/tex], calcule [tex]x\cdot y\cdot z[/tex].
(ITA, 2012 – Adaptado)
Lembretes
Dada uma progressão aritmética [tex](a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots)[/tex] de razão [tex]r[/tex]:
- [tex]\textcolor{#800000}{(a)}[/tex] O termo geral, [tex]a_{n}[/tex], é dado por [tex]\boxed{a_{n}=a_{1}+ (n-1)\cdot r}[/tex].
[tex]\textcolor{#800000}{(b)}[/tex] [tex]r=a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=\cdots[/tex].
[tex]\textcolor{#800000}{(c)}[/tex] [tex]a_k=\dfrac{a_{k+1}+a_{k-1}}{2}[/tex], para todo [tex]k\geq 2[/tex].
Solução
De acordo com a notação dos Lembretes, vamos denotar a progressão dada no problema como [tex](a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})\,.[/tex]
- Como [tex]a_4=-127[/tex] temos
- Pelo Lembrete [tex]\textcolor{#800000}{(b)}[/tex] temos
- Do Lembrete [tex]\textcolor{#800000}{(a)}[/tex], com [tex]n=4[/tex], obtemos
- Usando o Lembrete [tex]\textcolor{#800000}{(c)}[/tex] para [tex]k=3[/tex], vemos que
- De [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], vem que
- Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(v)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] obtemos
- Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(v)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(vi)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] temos
- Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(vii)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(v)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(vi)}[/tex], respectivamente, temos que
[tex]\qquad 11x-7y+2z=-127.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
[tex]\qquad r=a_2-a_1=(3x-5y)-(x+2y)[/tex]
[tex]\qquad r=2x-7y.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
[tex]\qquad a_4=a_1+(4-1)\cdot r[/tex]
[tex]\qquad -127=(x+2y)+3\cdot (2x-7y)[/tex]
[tex]\qquad -127=x+2y+6x-21y[/tex]
[tex]\qquad 7x-19y=-127.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
[tex]\qquad a_3=\dfrac{a_4+a_2}{2}[/tex]
[tex]\qquad (8x-2y)=\dfrac{(11x-7y+2z)+(3x-5y)}{2}[/tex]
[tex]\qquad 2\cdot (8x-2y)=(11x-7y+2z)+(3x-5y)[/tex]
[tex]\qquad 16x-4y=14x-12y+2z[/tex]
[tex]\qquad 2x+8y-2z=0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]
[tex]\qquad 7x-19y=-127[/tex]
[tex]\qquad 7x=-127+19y[/tex]
[tex]\qquad x=\dfrac{-127+19y}{7}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textcolor{#800000}{(v)}[/tex]
[tex]\qquad 2x+8y-2z=0[/tex]
[tex]\qquad 2\cdot \bigg(\dfrac{-127+19y}{7}\bigg)+8y-2z=0[/tex]
[tex]\qquad 2\cdot(-127+19y)+56y-14z=0[/tex]
[tex]\qquad -254+38y+56y-14z=0[/tex]
[tex]\qquad 14z=-254+94y[/tex]
[tex]\qquad z=\dfrac{-254+94y}{14}[/tex]
[tex]\qquad z=\dfrac{-127+47y}{7}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(vi)}[/tex]
[tex]\qquad 11\cdot\bigg(\dfrac{-127+19y}{7}\bigg)-7y+2\cdot\bigg(\dfrac{-127+47y}{7}\bigg)=-127[/tex]
[tex]\qquad 11\cdot(-127+19y)-49y+2\cdot(-127+47y)=-889[/tex]
[tex]\qquad -1397+209y-49y-254+94y=-889[/tex]
[tex]\qquad 254y=762[/tex]
[tex]\qquad y=\dfrac{762}{254}[/tex]
[tex]\qquad \boxed{y=3}\,.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textcolor{#800000}{(vii)}[/tex]
[tex]\qquad \boxed{x=-10}\,[/tex] e [tex]\,\boxed{z=2}[/tex].
Portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x\cdot y\cdot z=(-10)\cdot 3\cdot 2=-60$}[/tex] .
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.