Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)
Considere a função polinomial definida por [tex]f(x) = x^{3} + 2x^{2} -ax -2[/tex], sendo [tex]a[/tex] um número real.
Sabendo que [tex]x_{1}[/tex] e [tex]-x_{1}[/tex] são raízes da equação [tex]f(x)=0[/tex], calcule [tex]f(2)[/tex].
Adaptado de Matemática – Contexto e Aplicações, Volume Único único – Luiz Roberto Dante
Solução
Sendo [tex]x_{1}[/tex] e [tex]-x_{1}[/tex] raízes de [tex]f(x)=0[/tex] temos que:
[tex] \qquad \begin{cases}
f(x_{1}) = 0 \\
f(-x_{1}) =0
\end{cases}\;\;.[/tex]
Substituindo a expressão da função, temos:
[tex] \qquad \begin{cases}
x_{1}^{3} +2x_{1}^{2} -ax_{1} -2=0 \\
(-x_{1})^{3} +2(-x_{1})^{2} -a(-x_{1}) -2=0
\end{cases}\;\;[/tex],
ou seja,
[tex] \qquad \left\{ \begin{array}{ccc}
x_{1}^{3} +2x_{1}^{2} -ax_{1} -2=0, & \hspace{0.3cm} \textcolor{#800000}{(i)}& \\
-x_{1}^{3} +2x_{1}^{2} + ax_{1} -2=0. & \hspace{0.3cm} \textcolor{#800000}{(ii)} & \\
\end{array}\right.[/tex]
Somando as equações [tex] \textcolor{#800000}{(i)}\;[/tex] e [tex]\; \textcolor{#800000}{(ii)} [/tex], segue que:
[tex]\qquad 4x_{1}^{2}-4=0 \\
\qquad 4x_{1}^{2}=4 \\
\qquad \cancel{4}x_{1}^{2}= \cancel{4} \\
\qquad x_1^{2}=1, [/tex]
donde concluímos que [tex] x_{1} =1[/tex] ou [tex]x_{1}=-1[/tex].
Assim, as duas raízes simétricas [tex]x_1[/tex] e [tex]-x_1[/tex] são os números [tex]1[/tex] e [tex]-1[/tex]. De posse desta informação, vamos calcular o valor de [tex]a[/tex]. Considere, sem perda de generalidade, [tex]x_1=1 [/tex]; assim, segue de [tex] \textcolor{#800000}{(i)}\;[/tex], que:
[tex]\qquad (1)^{3} +2 \cdot (1)^{2} -a \cdot 1 -2=0 \\
\qquad 1+2-a-2=0 \\
\qquad a=1 \,.[/tex]
Dessa forma, [tex]f(x)=x^{3} +2x^{2} -x -2[/tex] e
[tex]\qquad f(2) = 2^{3} +2 \cdot 2^{2} -2-2=16-4=12[/tex].
Portanto, [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ f(2)=12$}\,.[/tex]
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