Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(Adaptado de Maclaurin Olympiad, 2003-2009) Resolva o sistema formado pelas equações [tex]\boxed{p+pr+pr^2=28}\;[/tex] e [tex]\;\boxed{p^2r+p^2r^2+p^2r^3=224}\,.[/tex]
Solução
Vamos chamar de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] as equações do sistema:
[tex]\qquad \qquad S:\begin{cases}
p+pr+pr^2=28\qquad \qquad \quad \quad \textcolor{#800000}{(i)}\\
p^2r+p^2r^2+p^2r^3=224\qquad \quad \textcolor{#800000}{(ii)}
\end{cases}[/tex].
Das equações [tex]\textcolor{#800000}{(i)}\;[/tex] e [tex]\;\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] obtemos, respectivamente:
[tex]\qquad p(1+r+r^2)=28 \qquad\qquad \textcolor{#800000}{(iii)}\\
\qquad p^2r(1+r+r^2)=224 \qquad\quad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]
Agora, como a equação [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}\;[/tex] não é nula, de [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}\;[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}\;[/tex] segue que:
[tex]\qquad\dfrac{p^2r(1+r+r^2)}{p(1+r+r^2)}=\dfrac{224}{28}\\
\qquad rp=8 \\
\qquad p=\dfrac{8}{r}, \qquad \textcolor{#800000}{(v)}[/tex]
já que [tex]r \neq 0[/tex].
Substituindo, agora, [tex]\textcolor{#800000}{(v)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], temos:
[tex]\qquad p(1+r+r^2)=28\\
\qquad \dfrac{8}{r} \cdot (1+r+r^2)=28\\
\qquad \dfrac{8}{r}+8+8r=28.[/tex]
Multiplicando essa última equação por [tex]r[/tex], segue que:
[tex]\qquad 8+8r+8r^2=28r\\
\qquad 8r^2-20r+8=0\\
\qquad 2r^2-5r+2=0[/tex].
Resolvendo esta última equação, encontramos:
[tex]\qquad r=\dfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}=\dfrac{5 \pm 3}{4}[/tex],
donde concluímos que [tex]r=2[/tex] ou [tex]r=\dfrac{1}{2}[/tex].
Para [tex]r=2[/tex], temos [tex]p=\dfrac{8}{2}=4[/tex] e, para [tex]r=\dfrac{1}{2}[/tex], temos [tex]p=\dfrac{8}{\dfrac{1}{2}}=16[/tex].
Desta forma, temos duas soluções para o sistema: [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(p_1, r_1)=(4, 2)$}\;[/tex] e [tex]\;\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(p_2, r_2)=\left(16, \dfrac{1}{2}\right)$}\,[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.