Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(Vestibular da UFGD, 2013) Em um parque de diversão existem brinquedos de [tex]21[/tex], [tex]28[/tex] e [tex]42[/tex] lugares, totalizando [tex]36[/tex] brinquedos. Ocupando todos os lugares nos brinquedos de [tex]21[/tex] e [tex]28[/tex] lugares, [tex]812[/tex] pessoas ficam perfeitamente acomodadas e podem se divertir no brinquedo desejado. Sabendo que os [tex]36[/tex] brinquedos acomodam no máximo [tex]938[/tex] pessoas, quantos brinquedos de [tex] 21[/tex], [tex]28[/tex] e [tex]42[/tex] lugares existem, respectivamente?
Solução
Sejam [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] e [tex]z[/tex] as quantidades de brinquedos de [tex]21[/tex], [tex]28[/tex] e [tex] 42[/tex] lugares, respectivamente. De acordo com os dados do problema, temos o seguinte sistema linear:
[tex]\qquad S_1: \left\{ \begin{array}{rcl}
x+ y + z = 36\;\; & & \textcolor{#800000}{(i)} \\
21x +28y = 812 & & \textcolor{#800000}{(ii)} \\
21x + 28y +42z = 938 & & \textcolor{#800000}{(iiii)} \\
\end{array}\right.[/tex]
Multiplicando a equação [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] por [tex](-1)[/tex] e somando o resultado com a equação [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], segue que:
[tex]\quad 42z= 938-812=126 \\
\quad z=\dfrac{126}{42} \\
\quad z=3.[/tex]
Substituindo [tex]z=3[/tex] nas equações [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex], obtemos um segundo sistema. Observe:
[tex] \qquad\left\{ \begin{array}{ccr}
\qquad x+y+3=36 & & \\
21x +28y+126= 938& & \\
\end{array}\right. [/tex]
[tex]\qquad \left\{ \begin{array}{ccr}
\quad x+y =33 & & \\
21x +28y = 812 & & \\
\end{array}\right. [/tex]
[tex]\qquad S_2: \left\{ \begin{array}{ccc}
-21x -21 y = -693 & & \textcolor{#800000}{(iv)} \\
21x +28y = 812 & & \textcolor{#800000}{(v)} \\
\end{array}\right. [/tex]
Somando agora as equações [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(v)}[/tex], segue que:
[tex]\quad 7y= 119 \\
\quad y=\dfrac{119}{7} \\
\quad y=17.[/tex]
Como [tex]z=3[/tex] e [tex]y=17[/tex], então [tex]x+17+3=36[/tex], ou seja, [tex]x=36-20=16[/tex].
Portanto, temos [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$16 \text{ brinquedos de 21 lugares}$}\;[/tex], [tex]\;\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \text{17 brinquedos de 28 lugares}$}[/tex] e [tex]\;\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \text{3 brinquedos de 42 lugares}$}\,.[/tex]
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