Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(CFO PM ES, Exatus – Adaptado) Francimar recebeu uma doação de [tex]1550[/tex] livros para montar uma biblioteca em sua escola. Para a organização da biblioteca, a direção da escola liberou uma sala com estantes de tamanhos variados.
Como as estantes disponibilizadas comportariam todos os livros, Francimar colocou [tex]14[/tex] livros na primeira estante, [tex]18[/tex] na segunda, [tex]22[/tex] na terceira e assim sucessivamente, colocando sempre mais quatro livros em cada estante nova que organizou, até utilizar todas elas.
Quantas estantes existem nessa sala liberada pela escola?
Lembretes
Dada uma PA [tex](a_{1}, a_{2}, \dots, a_s)[/tex] de razão [tex]r[/tex]:
[tex] \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] O termo geral, [tex]a_{n}[/tex], é dado por [tex]\boxed{a_{n}=a_{1}+ (n-1)\cdot r}[/tex].
[tex] \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] A soma dos [tex]n[/tex] primeiros termos é [tex]\boxed{S_{n} =\dfrac{ (a_{1} +a_{n}) \cdot n}{2}}[/tex].
Solução
Observe que o problema define uma Progressão Aritmética de razão [tex]r=4[/tex], sendo o primeiro termo [tex]a_{1}=14[/tex], e além disso a soma dos termos dessa progressão aritmética é [tex]S_{n}=1550[/tex]. Para saber quantas estantes temos na sala temos que determinar o número natural [tex]n[/tex], onde [tex]a_{n}[/tex] é o último termo dessa progressão.
Utilizando as informações do Lembrete, segue que:
[tex]\qquad a_{n}= 14 + (n-1) \cdot 4\\
\qquad a_{n} = 4n+10, \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
e também
[tex] \qquad 1550=S_{n}= \dfrac{(14+ a_{n} )\cdot n}{2}. \qquad \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]
Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}\,[/tex] em [tex]\,\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] temos que:
[tex]\qquad 1550= \dfrac{(14+4n+10)\cdot n}{2}\\
\qquad 3100= 24n +4n^{2} \\
\qquad n^{2}+6n-775=0\,. [/tex]
Vamos, então, resolver a equação quadrática [tex] n^{2}+6n-775=0 [/tex]:
[tex]\qquad \Delta = 6^{2}- 4 \cdot 1 \cdot (-775)= 36+3100= 3136\\
\qquad n_1= \dfrac{-6+ \sqrt{3136}}{2}= \dfrac{-6+56}{2}= \dfrac{50}{2}=25\\
\qquad n_2= \dfrac{-6 – \sqrt{3136}}{2}= \dfrac{-6 – 56}{2}= \dfrac{-62}{2}=-31.[/tex]
Como [tex]n[/tex] representa o número de estantes na sala, [tex]n\gt 0[/tex]; então existem exatamente [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$25$}[/tex] estantes na sala liberada pela escola para a organização da biblioteca.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.