Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(Extraído do material do PECI/OBMEP) Prove que, para quaisquer inteiros positivos [tex]a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n[/tex], o número
[tex]\qquad \qquad |a_1-a_2|+|a_2-a_3|+|a_3-a_4| +\cdots+|a_{n-1}-a_n|+|a_n-a_1|[/tex]
é par.
Solução
Considere a seguinte observação:
- Para qualquer número inteiro [tex]x[/tex], os números [tex]x[/tex] e [tex]|x|[/tex] têm a mesma paridade, ou seja, são ambos pares ou ambos ímpares.
A partir dessa observação, é suficiente observarmos que a soma dada tem a mesma paridade que esta soma:
[tex]\qquad (a_1-a_2)+(a_2-a_3)+(a_3-a_4) +\cdots+(a_{n-1}-a_n)+(a_n-a_1)[/tex].
Como
[tex]\qquad (a_1-a_2)+(a_2-a_3)+(a_3-a_4) +\cdots+(a_{n-1}-a_n)+(a_n-a_1)=0[/tex],
concluímos que a soma dada é par.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.