.Problema: Uma Adição Modular

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

(Extraído do material do PECI/OBMEP) Prove que, para quaisquer inteiros positivos $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$, o número
$\qquad \qquad |a_1-a_2|+|a_2-a_3|+|a_3-a_4| +\cdots+|a_{n-1}-a_n|+|a_n-a_1|$
é par.

Solução

Considere a seguinte observação:

• Para qualquer número inteiro $x$, os números $x$ e $|x|$ têm a mesma paridade, ou seja, são ambos pares ou ambos ímpares.

A partir dessa observação, é suficiente observarmos que a soma dada tem a mesma paridade que esta soma:
$\qquad (a_1-a_2)+(a_2-a_3)+(a_3-a_4) +\cdots+(a_{n-1}-a_n)+(a_n-a_1)$.
Como
$\qquad (a_1-a_2)+(a_2-a_3)+(a_3-a_4) +\cdots+(a_{n-1}-a_n)+(a_n-a_1)=0$,
concluímos que a soma dada é par.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.