Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(Extraído do material do PECI/OBMEP) Mostre que [tex]\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=4[/tex].
Solução
Antes de mais nada, observe que a expressão [tex]\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}[/tex] é de fato um número real; pois, como [tex]20 + 14\sqrt{2}[/tex] e [tex]20 – 14\sqrt{2}[/tex] são números reais, a raiz cúbica de cada um destes valores também é real e, consequentemente, a soma dessas raízes cúbicas também.
Seja, então, [tex]x=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}[/tex].
Fazendo [tex]a=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}[/tex] e [tex]b=\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}[/tex], obtemos que:
[tex]\qquad \begin{align*}a^3+b^3&=(\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}})^3+(\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}})^3\\
&=20+14\sqrt{2} +20-14\sqrt{2}=40\end{align*}[/tex]
e
[tex]\qquad \begin{align*}a \cdot b&=(\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}) \cdot (\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}})\\
&=\sqrt[3]{(20)^2-(14\sqrt{2})^2}=\sqrt[3]{400-392}=\sqrt[3]{8}=2.\end{align*}[/tex]
Além disso, temos que:
[tex]\qquad x=a+b[/tex]
[tex]\qquad x^3=(a+b)^3=a^3+b^3+3 \cdot a \cdot b \cdot (a+b)[/tex]
[tex]\qquad x^3=40+3 \cdot 2 \cdot x[/tex]
[tex]\qquad x^3-6 \cdot x-40=0[/tex]
Agora, vamos fatorar a expressão que aparece no lado esquerdo dessa última igualdade e, para isso, a ela vamos adicionar e subtrair a expressão [tex]4x^2[/tex] e transformar [tex]-6x[/tex] em [tex]-16x+10x[/tex]. Desta forma, obtemos:
[tex]\qquad x^3+(4x^2-4x^2)+(-16x+10x)-40=0[/tex]
[tex]\qquad (x^3-4x^2)+(4x^2-16x)+(10x-40)=0[/tex]
[tex]\qquad x^2(x-4)+4x(x-4)+10(x-4)=0[/tex]
[tex]\qquad \boxed{(x-4)(x^2+4x+10)=0}[/tex].
Assim, [tex]x-4=0\,[/tex] ou [tex]\, x^2+4x+10=0[/tex] e, portanto, temos duas possibilidades:
- se [tex]x-4=0 [/tex], segue que [tex]x=4[/tex]
- se [tex]x^2+4x+10=0[/tex], não temos valores reais para [tex]x[/tex], pois o discriminante dessa equação é negativo: [tex]\Delta=16-40=-24 \lt 0.[/tex]
Logo, a expressão [tex]\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}[/tex] é igual a [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$4$}[/tex].
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