5.Um pouco sobre a linguagem matemática – Sala de enigmas 1

Equivalência lógica e implicação lógica

Nos nossos estudos, lemos e escrevemos muitas frases matemáticas e, algumas vezes, precisamos substituir uma determinada frase por outra, quem sabe mais simples, mas sem prejuízos do ponto de vista da Lógica, já que a Matemática lida com frases que são proposições lógicas.
Assim, o que vamos discutir inicialmente aqui é

Quando duas proposições são consideradas como
“a mesma”, do ponto de vista da Lógica?

Duas proposições tais que "qualquer uma delas pode ser substituída pela outra" são denominadas proposições equivalentes. E duas proposições são equivalentes se as suas respectivas fórmulas proposicionais forem equivalentes.
Ótimo, já temos uma resposta para a primeira questão levantada na Sala 3: Quando uma proposição poderá ser substituída por outra?
Não respondemos? Claro que respondemos: logicamente falando, uma proposição pode ser substituída por outra se ambas forem equivalentes, ou seja, se as respectivas "fórmulas proposicionais das duas proposições forem equivalentes"…
É certo que falta um "pequeno detalhe": o que são fórmulas proposicionais equivalentes? Então, nada mais natural (e lógico) do que anunciar a nossa próxima definição.

Sejam [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] fórmulas proposicionais definidas a partir das mesmas letras proposicionais.
Dizemos que [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] são equivalentes, e escrevemos [tex]P \Longleftrightarrow Q[/tex], se a fórmula proposicional [tex]P \longleftrightarrow Q[/tex] for uma tautologia.
A uma bicondicional [tex]P \longleftrightarrow Q[/tex] tautológica, chamamos de equivalência lógica ou, simplesmente, equivalência.

Desse modo, duas fórmulas proposicionais equivalentes têm os mesmos valores lógicos em cada uma de todas as possibilidades lógicas de suas letras proposicionais.

✐ Exercício: Aproveitando a deixa, verifiquem que a negação de uma disjunção é uma conjunção de negações.

Dentre os vários importantes exemplos de fórmulas equivalentes está aquele que dá o nome de "bicondicional das proposições [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex]" à proposição representada por [tex]p \longleftrightarrow q[/tex]: [tex]\fcolorbox{black}{#fdf8ec}{$ p \longleftrightarrow q \Longleftrightarrow (p \rightarrow q) \land (q \rightarrow p)$}[/tex].
A simples observação da tabela-verdade abaixo justifica a equivalência.

[tex]\begin{array}{cc|c|c |c|c|c}
p & q & p \rightarrow q & q \rightarrow p & (p \rightarrow q) \land (q \rightarrow p) & p \longleftrightarrow q & (p \longleftrightarrow q)\longleftrightarrow ((p \rightarrow q) \land (q \rightarrow p)) \\
\hline
V&V&V&V&V&V&\textcolor{#996b0e}{V}\\
V&F&F&V&F&F&\textcolor{#996b0e}{V}\\
F&V&V&F&F&F&\textcolor{#996b0e}{V}\\
F&F&V&V&V&V&\textcolor{#996b0e}{V}
\end{array}[/tex]

Embora tenhamos apresentado praticamente apenas a definição formal de fórmulas proposicionais equivalentes, já conseguimos justificar algumas informações envolvendo condicionais que você, provavelmente, já utilizou em seus estudos (e pode ter se perguntado "– Mas, por que é assim?"). Então, acompanhe com atenção os próximos exemplos.

Vale a pena relacionar as negações das fórmulas proposicionais definidas pelos cinco conectivos lógicos. Já mostramos a maioria dessas equivalências, as demais ficam como tarefa para você.

➤ Negação da negação: [tex] \sim (\sim p) \Longleftrightarrow \, p[/tex]
➤ Negação da conjunção: [tex] \sim (p \land q) \, \Longleftrightarrow \, \sim p \, \lor \sim q[/tex]
➤ Negação da disjunção: [tex] \sim (p \lor q) \, \Longleftrightarrow \, \sim p \, \land\sim q[/tex]
➤ Negação da condicional: [tex] \sim (p \rightarrow q) \, \Longleftrightarrow \, p \, \land \sim q[/tex]
➤ Negação da bicondicional: [tex] \sim (p \longleftrightarrow q) \, \Longleftrightarrow \, (p \, \land \sim q) \lor (\sim p \, \land q)[/tex]

Se precisar de exemplos envolvendo essas negações, clique no próximo botão.

Discutimos até agora a situação ideal, no que tange à substituição de proposições: situações nas quais temos duas proposições tais que “qualquer uma delas pode ser substituída pela outra”. O que faremos agora é completar a discussão, apresentando pares de proposições tais que podemos garantir que uma delas pode ser substituída pela outra sem que, necessariamente, a outra possa ser substituída pela primeira. Estabeleceremos, então, que uma proposição poderá ser substituída por uma segunda se a fórmula proposicional que representa a primeira implicar logicamente a fórmula da segunda e complementamos essa informação com a seguinte definição:

Sejam [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] fórmulas proposicionais definidas a partir das mesmas letras proposicionais. Dizemos que [tex]P[/tex] implica logicamente [tex]Q[/tex] (ou simplesmente, [tex]P[/tex] implica [tex]Q[/tex]) se a fórmula proposicional [tex]P \rightarrow Q[/tex] for uma tautologia. Neste caso, usamos a notação [tex]P \Rightarrow Q[/tex] e dizemos que a condicional tautológica [tex]P \rightarrow Q[/tex] é uma implicação.

Perceba que se duas fórmulas proposicionais [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] são tais que [tex]P \Longleftrightarrow Q[/tex], então podemos garantir que [tex]P \Rightarrow Q[/tex] e [tex]Q \Rightarrow P[/tex]. Com isso já temos vários exemplos de implicações.
Um exemplo clássico e intuitivo de implicação sem equivalência vem da fórmula proposicional [tex] p \land q[/tex]. Conforme mostra a tabela abaixo, [tex] p \land q \Rightarrow p \, [/tex] e [tex] \, p \land q \Rightarrow q[/tex].

[tex]\begin{array}{ccc|c|c}
p & q & p\land q & p\land q \rightarrow p & p\land q \rightarrow q\\
\hline
V&V&V&{\color{#996b0e}V}&{\color{blue}V}\\
V&F&F&{\color{#996b0e}V}&{\color{blue}V}\\
F&V&F&{\color{#996b0e}V}&{\color{blue}V}\\
F&F&F&{\color{#996b0e}V}&{\color{blue}V}
\end{array}[/tex]

Mesmo sendo logicamente "mais fracas" do que as equivalências, as implicações desempenham um papel importante na Matemática. Apresentamos abaixo algumas implicações bastante utilizadas em demonstrações matemáticas.

➤ Regras de Simplificação: [tex]p \land q \Rightarrow p \, \, [/tex] e [tex] \, \, p \land q \Rightarrow q [/tex]
➤ Regras de Adição : [tex]p \Rightarrow p \lor q \, \, [/tex] e [tex] \, \, q \Rightarrow p \lor q[/tex]
➤ Regra do Modus Ponens: [tex](p \rightarrow q) \land p \Rightarrow q[/tex]
➤ Regra do Modus Tollens: [tex](p \rightarrow q) \, \land \sim q \Rightarrow \sim p[/tex]

Essas implicações são exemplos do que a Lógica denomina Regras de Inferência e a leitura delas pode assim ser feita:
➤ "de [tex]p \land q[/tex], podemos inferir [tex]p[/tex]" ou "de [tex]p \land q[/tex], podemos concluir [tex]p[/tex]";
➤ "de [tex]p \land q[/tex], podemos inferir [tex]q[/tex]" ou "de [tex]p \land q[/tex], podemos concluir [tex]q[/tex]";
➤ "de [tex]p[/tex], podemos inferir [tex]p \lor q[/tex]" ou "de [tex]p[/tex], podemos concluir [tex]p \lor q[/tex]";
➤ "de [tex]q [/tex], podemos inferir [tex] p \lor q[/tex]" ou "de [tex]q [/tex], podemos concluir [tex] p \lor q[/tex]"; e assim por diante…

Para ilustrar um pouco do que aqui foi apresentado, clique no próximo botão.

Equivalências lógicas

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Observe que:
✐ A negação da afirmação "[tex]2[/tex] é par ou [tex]\pi[/tex] é irracional" é "[tex]2[/tex] não é par e [tex]\pi[/tex] não é irracional", isto é, "[tex]2[/tex] é ímpar e [tex]\pi[/tex] é racional".

✐ A negação da afirmação "se [tex]5+1=9[/tex] , então [tex]5^2=15[/tex] " é a afirmação " [tex]5+1 = 9 \, [/tex] e [tex] \, 5^2 \ne 15[/tex] ".

✐ A afirmação "se [tex]5+1=9[/tex] , então [tex]5^2=15[/tex]" pode ser substituída pela afirmação " [tex]5+1 \ne 9 \, [/tex] ou [tex] \, 5^2=15[/tex]".

✐ A afirmação "se hoje é domingo, então amanhã não será sexta-feira" pode ser substituída pela afirmação "se amanhã for sexta-feira, então hoje não é domingo".

✐ A negação da frase "[tex]2 \lt 6 \lt 8[/tex] " é "[tex]2[/tex] não é menor do [tex]6 \, [/tex] ou [tex] \, 6[/tex] não é menor do que [tex]8[/tex]" ou ainda, "[tex]2 \ge 6 \, [/tex] ou [tex] \, 6 \ge 8[/tex]".

✐ A negação da frase "[tex]3 \times 2=6 \, [/tex] ou [tex] \, 2^0=1 \, [/tex] e [tex] \, 1+5\ne 9[/tex] " é "[tex]3 \times 2 \ne 6 \, [/tex] e [tex] \, 2^0\ne 1 \, [/tex] ou [tex] \, 1+5=9[/tex] ".

A afirmação do quarto exemplo é, de fato, uma proposição?

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Uma aplicação importante das equivalências e implicações lógicas

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Uma tarefa importante para quem estuda Lógica é testar argumentos.
Informalmente, um argumento é qualquer afirmação de que "uma determinada proposição, chamada a conclusão, é consequência de outras proposições, chamadas premissas ou hipóteses". E um argumento é dito válido se a conjunção das premissas/hipóteses implica a conclusão. Formalizando um pouco, para manter as nossas notações, vamos apresentar mais uma definição.

Suponha que [tex]p_1, \, p_2, \, p_3, \, \cdots \, p_n, \, q \, [/tex] representem proposições quaisquer. Chamamos de argumento toda afirmação de que [tex]p_1, \, p_2, \, p_3, \, \cdots \, p_n \, [/tex] têm como consequência [tex] \, q[/tex]. Neste caso:
➤ as proposições representadas por [tex]p_1, \, p_2, \, p_3, \, \cdots \, p_n \, [/tex] são as premissas do argumento;
➤ a proposição representada por [tex] \, q[/tex] é a conclusão do argumento;
➤ dizemos que o argumento é válido se
[tex]\qquad p_1 \land p_2 \land p_3 \land \, \cdots \, p_n \Rightarrow q \, [/tex],
ou seja, se a fórmula proposicional da condicional
[tex]\qquad p_1 \land p_2 \land p_3 \land \, \cdots \, p_n \rightarrow q \, [/tex]
for tautológica.

Tabelas-verdade podem ser utilizadas para testarmos a validade ou não de argumentos, mas sabemos que uma tabela-verdade pode ter muitas linhas e colunas. Nestes casos, o uso de regras de inferência pode garantir a validade de um argumento; para isso fazemos um processo que denominaremos de "Derivação formal por regras de inferência".
Uma Derivação formal por regras de inferência é um processo que se inicia com a listagem das premissas do argumento; em seguida, novas proposições são obtidas por meio da aplicação de regras de inferência adequadas, até que a conclusão seja obtida:

(1) [tex] p_1 \qquad \quad[/tex] premissa
(2) [tex] p_2 \qquad \quad[/tex] premissa
. . .
(n) [tex] p_n \qquad \quad[/tex] premissa
(n+1) [tex] q_1 \qquad [/tex] justificativa da nova proposição
(n+2) [tex] q_2 \qquad [/tex] justificativa da nova proposição
. . .
(n+m) [tex] q_m \qquad [/tex] justificativa da nova proposição
______________________________________________________________
[tex]\qquad \qquad q\qquad [/tex] conclusão

A princípio o processo parece aterrorizador, mas não é… É somente lógico!
Vejam alguns exemplos.

✐ Argumento: "Se faz calor, então Maria vai à piscina. Fez calor; logo Maria foi à piscina.".
Vamos considerar as premissas:
[tex]\qquad p_1[/tex]: Se faz calor, então Maria vai à piscina.
[tex]\qquad p_2[/tex]: Fez calor.
e a conclusão:
[tex]\qquad q[/tex]: Maria foi à piscina.

Observe que a fórmula proposicional [tex](r \rightarrow s) \land r \rightarrow s \, [/tex] generaliza a proposição condicional [tex]p_1 \land p_2\rightarrow q [/tex]; assim, para verificar a validade ou não do argumento, bastaria construir a tabela-verdade da fórmula proposicional [tex](r \rightarrow s) \land r \rightarrow s [/tex].
Mas isso não é necessário, já que a implicação [tex](r \rightarrow s) \land r \rightarrow s [/tex] corresponde à regra de inferência Modus Ponens.
Para facilitar a visualização da inferência podemos esquematizar o raciocínio da seguinte forma:

(1)	Se faz calor, então Maria vai à piscina.	premissa
(2)	Fez calor.	premissa
(3)	Maria foi à piscina.	(1), (2) e Modus Ponens

✐ Argumento: "Se eu fosse ator, então seria artista. Não sou ator; logo não sou artista.".
Vamos considerar as premissas:
[tex]\qquad p_1[/tex]: Se eu fosse ator, então seria artista.
[tex]\qquad p_2[/tex]: Não sou ator.
e a conclusão:
[tex]\qquad q[/tex]: Não sou artista.

Observe que a fórmula proposicional [tex](r \rightarrow s) \land \sim r \rightarrow \sim s \, [/tex] aplicada às proposições
[tex]\qquad r[/tex]: ser ator;
[tex]\qquad s[/tex]: ser artista.
corresponde à proposição condicional [tex]p_1 \land p_2\rightarrow q [/tex]; assim, para verificar a validade ou não do argumento, vamos investigar a possível implicação [tex](r \rightarrow s) \land \sim r \Rightarrow \sim s [/tex].
A tabela abaixo mostra que a fórmula [tex](r \rightarrow s) \land \sim r \rightarrow \sim s [/tex] não é tautológica, logo não ocorre a implicação em questão e o argumento não é válido.

[tex]\begin{array}{cccccc|c}
r & s & \sim r & \sim s & r \rightarrow s & (r \rightarrow s) \land \sim r & ((r \rightarrow s) \land \sim r) \longrightarrow \sim s\\
\hline
V&V&F&F&V&F&{\color{blue}V} \\
V&F&F&V&F&F&{\color{blue}V} \\
F&V&V&F&V&V&{\color{#996b0e}F} \\
F&F&V&V&V&V&{\color{blue}V}
\end{array}[/tex]

✐ Argumento: "Se eu ganhar na loteria, então eu fico rico. Se eu ficar rico, fico feliz. Ganhei na loteria; logo fiquei feliz.".
Vamos considerar as premissas:
[tex]\qquad p_1[/tex]: Se eu ganhar na loteria, então eu fico rico.
[tex]\qquad p_2[/tex]: Se eu ficar rico, fico feliz.
[tex]\qquad p_3[/tex]: Ganhei na loteria.
e a conclusão:
[tex]\qquad q[/tex]: Fiquei feliz.

Vamos aqui considerar a fórmula proposicional [tex]\left( (p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r) \land p \right) \rightarrow r \, [/tex] e verificar se ela é tautológica. Para tanto, construímos a seguinte tabela-verdade:

[tex]\begin{array}{ccc|cccc|c}
p&q&r& p \rightarrow q & q \rightarrow r & (p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r) & (p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r) \land p & \left( (p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r) \land p \right) \rightarrow r\\
\hline
V&V&V&V&V&V&V&{\color{blue}V} \\
V&V&F&V&F&F&F&{\color{blue}V} \\
V&F&V&F&V&F&F&{\color{blue}V} \\
V&F&F&F&V&F&F&{\color{blue}V} \\
F&V&V&V&V&V&F&{\color{blue}V} \\
F&V&F&V&F&F&F&{\color{blue}V} \\
F&F&V&V&V&V&F&{\color{blue}V} \\
F&F&F&V&V&V&F&{\color{blue}V} \\
\end{array}[/tex]

A última coluna da tabela só contém V’s, logo a fórmula condicional [tex]\left( (p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r) \land p \right) \rightarrow r [/tex] é tautológica, [tex]\left( (p \rightarrow q) \land (q \rightarrow r) \land p \right) \Rightarrow r \, [/tex] e o argumento é válido!

A validade desse argumento poderia ser verificada com o uso das regras de inferência:

(1)	Se eu ganhar na loteria, então eu fico rico.	premissa
(2)	Se eu ficar rico, fico feliz.	premissa
(3)	Ganhei na loteria.	premissa
(4)	Fiquei rico.	(1), (3) e Modus Ponens
(5)	Fiquei feliz.	(2), (4) e Modus Ponens

✐ Argumento: "Se meu time ganhar a última partida do campeonato, então ele será campeão. Meu time ganhou as duas últimas partidas do campeonato; logo meu time foi campeão.".
Vamos considerar as premissas:
[tex]\qquad p_1[/tex]: Se meu time ganhar a última partida do campeonato, então ele será campeão.
[tex]\qquad p_2[/tex]: Meu time ganhou as duas últimas partidas do campeonato.
e a conclusão:
[tex]\qquad q[/tex]: Meu time foi campeão.

Antes de mais nada, observe que a segunda premissa corresponde a uma conjunção: Meu time ganhou a última partida do campeonato e meu time ganhou a penúltima partida do campeonato, então vamos considerar a fórmula proposicional [tex]( (p \rightarrow q) \land (p \land r) ) \rightarrow q \, [/tex] e verificar se ela é tautológica.
Tabela-verdade:

[tex]\begin{array}{ccc|ccc|c}
p&q&r& p \rightarrow q & \quad p \land r &\quad (p \rightarrow q) \land (p \land r) & (p \rightarrow q) \land (p \land r) \rightarrow q\\
\hline
V&V&V&V&V&V&{\color{blue}V} \\
V&V&F&V&F&F&{\color{blue}V} \\
V&F&V&F&V&F&{\color{blue}V} \\
V&F&F&F&F&F&{\color{blue}V} \\
F&V&V&V&F&F&{\color{blue}V} \\
F&V&F&V&F&F&{\color{blue}V} \\
F&F&V&V&F&F&{\color{blue}V} \\
F&F&F&V&F&F&{\color{blue}V} \\
\end{array}[/tex]

A última coluna da tabela só contém V’s, logo temos mais uma fórmula condicional tautológica, assim [tex](p \rightarrow q) \land (p \land r) \Rightarrow q \, [/tex] e o argumento é válido!

A validade desse argumento também pode ser verificada com o uso das regras de inferência:

(1)	Se meu time ganhar a última partida do campeonato, então ele será campeão.	premissa
(2)	Meu time ganhou a última partida do campeonato e meu time ganhou a penúltima partida do campeonato.	premissa
(3)	Meu time ganhou a última partida do campeonato.	(2) e Regra de Simplificação
(4)	Meu time foi campeão.	(1), (3) e Modus Ponens

✐ Argumento: "Se Edu estuda medicina, então ele prepara-se para ganhar bem. Se Edu estuda artes, então ele prepara-se para ser feliz. Se Edu prepara-se para ganhar bem ou ser feliz, então suas despesas de estudos são valorizadas. Suas despesas de estudos não são valorizadas. Portanto, Edu não estuda medicina e nem artes".

A validade desse argumento também pode ser verificada com o uso das regras de inferência:

(1)	Se Edu estuda medicina, então ele prepara-se para ganhar bem.	premissa
(2)	Se Edu estuda artes, então ele prepara-se para ser feliz.	premissa
(3)	Se Edu prepara-se para ganhar bem ou para ser feliz, então suas despesas de estudos são valorizadas.	premissa
(4)	As despesas de estudos de Edu não são valorizadas.	premissa
(5)	Edu não se prepara para “ganhar bem ou para ser feliz”.	(3), (4) e Modus Tollens
(6)	Edu não se prepara para ganhar bem e Edu não se prepara para ser feliz.	(5) e Negação da disjunção
(7)	Edu não se prepara para ganhar bem.	(6) e Regra de Simplificação
(8)	Edu não se prepara para ser feliz.	(6) e Regra de Simplificação
(9)	Edu não estuda medicina.	(1), (7) e Modus Tollens
(10)	Edu não estuda artes.	(2), (8) e Modus Tollens
(11)	Edu não estuda medicina e Edu não estuda artes.	Conjunção de (9) e (10)

Verdade e falsidade são atributos de proposições, não de argumentos: proposições são verdadeiras ou falsas, mas argumentos são válidos ou não. Argumentos podem ser válidos e terem conclusões falsas. Também, argumentos que não sejam válidos podem ter conclusões verdadeiras.

Equipe COM – OBMEP