Problema
Determine [tex]x[/tex] tal que [tex]x=\sqrt{7-\sqrt{24}}-\sqrt{7+\sqrt{24}}[/tex].
Solução 1
Seja [tex]x= \sqrt{7-\sqrt{24}}-\sqrt{7+\sqrt{24}}[/tex],
então
[tex]\quad x^2= \left(\sqrt{7-\sqrt{24}}-\sqrt{7+\sqrt{24}}\right)^2[/tex] .
Aplicando propriedades operatórias do quadrado da diferença, do produto de raízes de mesmo índice e do produto da soma pela diferença, temos
[tex]\quad x^2=\left(\sqrt{7-\sqrt{24}}\right)^2-2 \sqrt{(7-\sqrt{24})(7+\sqrt{24})}+\left(\sqrt{7+\sqrt{24}}\right)^2[/tex]
[tex]\quad \quad =7- \cancel{\sqrt{24}} -2 \cdot \sqrt{7^2-(\sqrt{24})^2} + 7+ \cancel{\sqrt{24}}[/tex]
[tex]\quad \quad =7-2\sqrt{25}+7[/tex]
[tex]\quad \quad =14-10[/tex]
[tex]\quad \quad =4[/tex],
donde [tex] x= \pm 2[/tex].
Mas, como [tex]~ 0 \lt 7-\sqrt{24} \lt 7+\sqrt{24}\, [/tex], é evidente que [tex]\,\sqrt{7-\sqrt{24}} \lt\sqrt{7+\sqrt{24}}[/tex].
Portanto, [tex]\,\sqrt{7-\sqrt{24}}-\sqrt{7+\sqrt{24}}\lt0 \,[/tex] e assim [tex] \, x \lt 0[/tex] .
Dessa forma, [tex]x=-2[/tex], pois este é o único valor negativo que [tex]x[/tex] poderá assumir neste caso.
Solução elaborada pela aluna do PIC-OBMEP Miriam de Cassia Souza.
Solução 2
Simplificando [tex]\sqrt{7 – \sqrt{24}} – \sqrt{7 + \sqrt{24}}[/tex], obtemos que [tex]x = -2[/tex], veja:
[tex]x = \sqrt{7-2\sqrt{6}}-\sqrt{7 + 2\sqrt{6}}[/tex]
[tex]\quad = \sqrt{(\sqrt{6}-1)^2}-\sqrt{(\sqrt{6} + 1)^2}[/tex]
[tex]\quad = \sqrt{6}-1-(\sqrt{6} + 1)[/tex]
[tex]\quad = \sqrt{6}-1-\sqrt{6}-1[/tex]
[tex]\quad = -2[/tex].
Então, temos que [tex]x =-2[/tex].
Solução elaborada pelo aluno do PIC-OBMEP Henrique Takeo Sakashita.