Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(Colégio Naval) A ligação entre duas cidades [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] pode ser feita por dois caminhos: [tex]C_1[/tex] e [tex]C_2[/tex].
- O caminho [tex]C_1[/tex] é mais curto, porém com mais tráfego,
- O caminho [tex]C_2[/tex] é [tex]14\%[/tex] mais longo do que [tex]C_1[/tex], mas possui tráfego menor, o que permite um aumento na velocidade de [tex]20\%[/tex].
Em quantos por cento diminuirá o tempo de viagem para ir de [tex]A[/tex] até [tex]B[/tex] usando o caminho [tex]C_2[/tex]?
Observação: Considere as velocidades sempre constantes e as maiores possíveis.
Solução
Primeiramente, vamos considerar que [tex]v_1[/tex] e [tex]v_2[/tex] são as velocidades nos caminhos [tex]C_1[/tex] e [tex]C_2[/tex], bem como [tex]t_1[/tex] e [tex]t_2[/tex] são os respectivos tempos necessários para percorrer cada trecho.
Dessa forma, temos que:
[tex]\qquad \qquad C_2=C_1+0,14 \cdot C_1=1,14 \cdot C_1\qquad [/tex] e [tex]\qquad v_2=v_1+0,2 \cdot v_1=1,20 \cdot v_1[/tex].
Assim:
- Como a velocidade no primeiro caminho é dada por [tex]v_1=\dfrac{C_1}{t_1}[/tex], então
[tex]\qquad \boxed{t_1=\dfrac{C_1}{v_1}}[/tex]
é o tempo necessário para se percorrer o primeiro caminho. - Como a velocidade no segundo caminho é dada por [tex]v_2=\dfrac{C_2}{t_2}[/tex], então
[tex]\qquad t_2=\dfrac{C_2}{v_2}=\dfrac{1,14 \cdot C_1}{1,20 \cdot v_1}=\boxed{0,95 \cdot t_1}[/tex]
é o tempo necessário para se percorrer o segundo caminho.
Logo, o tempo de viagem diminuirá em [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\,5\%\,$}\,[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.