Problema
Se a equação quadrática
[tex]\quad \quad\quad x^2-2nx+n+3=0[/tex]
tem conjunto solução
[tex]\quad \quad\quad \left\{\dfrac {b}{a}+1~,~\dfrac{a}{b}+1\right\}[/tex],
determine [tex]n^2[/tex].
Solução
Se a equação [tex]~a_0x^2 + a_1 x + a_2 = 0~[/tex] possui como raízes [tex]r_1[/tex] e [tex]r_2[/tex], as relações de Girard* para equações do segundo grau garantem que:
[tex]\quad\quad r_1+r_2=-\dfrac{a_1}{a_0}[/tex]
[tex]\quad\quad r_1\cdot r_2=\dfrac{a_2}{a_0}.[/tex]
Na equação quadrática [tex]~x^2-2nx+n+3=0~[/tex], temos [tex]a_0=1[/tex], [tex]a_1=-2n[/tex] e [tex]a_2=n+3[/tex]; logo, a soma de suas as raízes é
[tex]\quad\quad r_1+r_2=-\left(\dfrac{-2n}{1}\right)=2n[/tex]
e o produto das raízes é
[tex]\quad\quad r_1\cdot r_2=\dfrac{n+3}{1}=n+3[/tex].
Por outro lado, como o conjunto solução da equação em questão é
[tex]\quad\quad \left\{\dfrac {b}{a}+1~,~\dfrac{a}{b}+1\right\}[/tex],
então
[tex]\quad\quad r_1\cdot r_2= \left(\dfrac{b}{a}+1\right)\cdot\left(\dfrac{a}{b}+1\right)=\left(1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+1\right)\\
\quad \quad r_1\cdot r_2=\left(\dfrac{b}{a}+1\right)+\left(\dfrac{a}{b}+1\right)=r_1+r_2\,.[/tex]
Assim,
[tex]\quad\quad2n = n +3[/tex],
donde
[tex]\quad\quad n=3[/tex].
Portanto, [tex]n^2=3^2=9[/tex].
Solução elaborada pelo aluno do PIC-OBMEP Paulo Ricardo Souza Rodrigues, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Texto de apoio
* Se você não se lembra das relações de Girard, leia o texto “Relações de Girard para equações do segundo grau” na Sala de Pequenos Textos, na Nossa Biblioteca.
Bons estudos!