Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Calcular o valor da expressão [tex]\left(\dfrac{4017^3-2009^3-2008^3}{4017 \times 2009 \times 2008}\right).[/tex]
Solução
Vamos fazer [tex]\boxed{a=2009}\,[/tex] e [tex]\,\boxed{b=2008}[/tex]. Assim, [tex]\boxed{a+b=4017}[/tex] e nossa expressão pode ser reescrita como:
[tex]\left(\dfrac{(a+b)^3-a^3-b^3}{(a+b) \times a \times b}\right).[/tex]
Agora, veja que [tex](a+b)^3=a^3+3ab(a+b)+b^3[/tex], donde segue que:
[tex]\qquad (a+b)^3-a^3-b^3=3ab(a+b)\\
\qquad \dfrac{(a+b)^3-a^3-b^3}{ab(a+b)}=3\,.\qquad \textcolor{#800000}{(*)}[/tex]
Logo, fazendo as substituições [tex]a=2009[/tex] e [tex]b=2008[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(*)}[/tex], temos que [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\left(\dfrac{4017^3-2009^3-2008^3}{4017 \times 2009 \times 2008}\right)=3$}\,.[/tex]
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