Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(The Ussr Olympiad Problem Book – Adaptado) Encontre sequências de inteiros positivos consecutivos cuja soma seja igual a [tex]1000[/tex].
Lembrete
Se [tex]a_1, a_2, \cdots, a_n[/tex] for uma progressão aritmética de razão [tex]r[/tex], então a soma dos seus [tex]n[/tex] termos é dada por [tex]\,\boxed{S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}\,.[/tex]
Solução
Suponha que [tex]\,\, m,\, m+1, \,m+2, \cdots, \,m+k\,\,[/tex] sejam inteiros positivos e consecutivos cuja soma é [tex]1000[/tex].
Observe que esses números formam uma progressão aritmética de razão [tex]1[/tex]. Assim, como a soma desses [tex]k+1[/tex] números é [tex]1000[/tex], pelo Lembrete segue que:
[tex]\quad \dfrac{(m+(m+k))\cdot (k+1)}{2}=1000[/tex]
[tex]\quad (2m+k)\cdot(k+1)=2000.\ \ \ \ \ \ \ \ \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Sendo [tex]2m[/tex] um número par, temos que:
- se [tex]k[/tex] for ímpar, então [tex]2m+k[/tex] é ímpar e [tex]k+1[/tex] é par;
- se [tex]k[/tex] for par, então [tex]2m+k[/tex] é par e [tex]k+1[/tex] é ímpar.
Dessa forma, em ambos os casos um dos fatores do lado esquerdo da igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] é ímpar. Observe também que, como [tex]m[/tex] é um inteiro positivo, então [tex]2m+k[/tex] é maior que [tex]k+1[/tex].
Por outro lado, temos que [tex]2000=2^4\cdot 5^3[/tex], logo as únicas maneiras de escrever [tex]2000[/tex] como produto de dois fatores sendo um deles ímpar são:
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(a)}\,\, 2000=2000\cdot 1[/tex];
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(b)}\,\, 2000=400\cdot 5[/tex];
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(c)}\,\, 2000=125\cdot 16[/tex];
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(d)}\,\, 2000=80\cdot 25[/tex];
donde segue, respectivamente, que:
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(a)}\,\, 2m+k=2000[/tex] e [tex]k+1=1[/tex], então [tex]k=0[/tex] e [tex]m=1000[/tex];
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(b)}\,\, 2m+k=400[/tex] e [tex]k+1=5[/tex], então [tex]k=4[/tex] e [tex]m=198[/tex];
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(c)}\,\, 2m+k=125[/tex] e [tex]k+1=16[/tex], então [tex]k=15[/tex] e [tex]m=55[/tex];
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(d)}\,\, 2m+k=80[/tex] e [tex]k+1=25[/tex], então [tex]k=24[/tex] e [tex]m=28[/tex].
Portanto, as sequências de inteiros positivos consecutivos cuja soma é igual a [tex]1000[/tex] são:
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(a)}\,\,[/tex] Sequência com um elemento:
[tex]\quad \qquad \quad \textcolor{red}{\ggg} 1000[/tex].(Sequências com apenas um elemento são matematicamente consideradas)
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(b)}\,\,[/tex] Sequência com cinco elementos:
[tex]\quad \qquad \quad \textcolor{red}{\ggg} 198, 199, 200, 201[/tex] e [tex]202[/tex].
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(c)}\,\,[/tex] Sequência com dezesseis elementos:
[tex]\quad \qquad \quad \textcolor{red}{\ggg} 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69[/tex] e [tex]70[/tex].
[tex]\quad \textcolor{#800000}{(d)}\,\,[/tex] Sequência com vinte e cinco elementos:
[tex]\quad \qquad \quad \textcolor{red}{\ggg} 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45,\\
\quad \qquad \quad \quad 46, 47, 48, 49, 50, 51 \text{ e }52[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.