Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(Adaptado: Algebra – Problems and Solutions from Mathematical Olympiads) Determine a solução no conjunto dos reais do sistema de equações abaixo.
[tex]\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{cc}
x^3+y^3=7\\
xy(x+y)=-2\\
\end{array}
\right.
\end{equation}[/tex]
Solução
Do enunciado temos
[tex]\qquad x^3+y^3=7\;\;\textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
e
[tex]\qquad xy(x+y)=-2.\;\;\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Do produto notável cubo da soma de dois termos (Para relembrar esse e outros produtos notáveis, dê uma passadinha nesta Sala.), obtemos
[tex]\qquad (x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3[/tex]
ou ainda,
[tex]\qquad (x+y)^3=x^3+y^3+3(x^2y+xy^2).\;\;\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Da equação [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] vem que:
[tex]\qquad x^2y+xy^2=-2.\;\; \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]
Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] segue que:
[tex]\qquad (x+y)^3=7+3(-2)[/tex]
[tex]\qquad (x+y)^3=1[/tex]
[tex]\qquad x+y=1.\;\;\; \textcolor{#800000}{(v)}[/tex]
Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(v)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] temos que
[tex]\qquad xy=-2.\;\;\textcolor{#800000}{(vi)}[/tex]
Como [tex]x+y=1[/tex], então [tex]y=1-x\;\; \textcolor{#800000}{(vii)}[/tex].
Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(vii)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(vi)}[/tex] segue que:
[tex]\qquad x(1-x)=-2[/tex]
[tex]\qquad x-x^2=-2[/tex]
[tex]\qquad x^2-x-2=0.\;\; \textcolor{#800000}{(viii)}[/tex]
Resolvendo a equação do [tex]2^{\circ}[/tex] grau [tex]\textcolor{#800000}{(viii)}[/tex], temos
[tex]\qquad x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^{2^\textcolor{white}{1}}-4\cdot 1\cdot(-2)}}{2\cdot 1\,}[/tex]
[tex]\qquad x=\dfrac{1\pm\sqrt{9}}{2}\\\,[/tex]
[tex]\qquad x=\dfrac{1\pm3}{2}.[/tex]
Assim, [tex]x=2[/tex] ou [tex]x=-1[/tex]. Substituindo esses valores em [tex]\textcolor{#800000}{(vii)}[/tex], temos que:
- se [tex]x=2[/tex], então [tex]y=-1[/tex];
- se [tex]x=-1[/tex], então [tex]y=2[/tex].
Portanto, as soluções do sistema são os pares ordenados [tex](2,-1)[/tex] e [tex](-1,2)[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.