Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
(CMBH 2007 – Adaptado) Glória possui uma coleção de selos e deseja guardá-los em várias caixinhas. Ela observou que armazenando os selos de [tex]12[/tex] em [tex] 12[/tex], de [tex]24[/tex] em [tex]24[/tex] ou de [tex]36[/tex] em [tex]36[/tex], sobravam sempre [tex]7[/tex] selos. Sabendo que o número de selos é maior que [tex]300[/tex] e menor que [tex]400[/tex], encontre o número de selos da coleção de Glória.
Solução
Considere [tex]x[/tex] o número de selos da coleção de Glória. Pelas informações do problema temos que [tex]x-7[/tex] é múltiplo de [tex]12[/tex], [tex]24[/tex] e [tex]36[/tex]. Vamos calcular o [tex]mmc(12,24,36)[/tex].
[tex] \begin{array}{r r r |l}
12 & 24 & 36 & 2 \\
6 & 12 & 18 & 2\\
3 & 6 & 9 & 2\\
3 & 3 & 9 & 3\\
1 & 1 & 3 & 3\\
1 & 1 & 1 & \end{array}[/tex]
Então, [tex]mmc(12,24,36)=2^3 \times 3^2=72[/tex] e, portanto, os números [tex]x-7[/tex] divisíveis por [tex]12, \, 24[/tex] e [tex]36[/tex] são exatamente os múltiplos positivos de [tex]72[/tex], isto é, [tex]\, x-7 \in \{72, \, 144, \, 216, \, 288, \, 360, \, 432, \, \cdots \}[/tex].
Como o número de selos da coleção é maior que [tex]300[/tex] e menor que [tex]400[/tex], então [tex]300 \lt x \lt 400~.[/tex] Assim, [tex]293 \lt x-7 \lt 393[/tex]; logo, temos que [tex]x-7=360[/tex], ou seja, [tex]x=367[/tex].
Portanto, Glória possui [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$367$}\, [/tex] selos.
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