.Problemão: Bandeirinhas vermelhas e pretas

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

Para a festa de comemoração de um Clube de Matemática, alguns alunos decidiram enfeitar o salão de festas da escola com bandeirinhas totalmente vermelhas ou totalmente pretas. As bandeirinhas foram coladas em um barbante, na seguinte ordem: [tex]1[/tex] bandeirinha vermelha, [tex]1[/tex] preta, [tex]2[/tex] vermelhas, [tex]2[/tex] pretas, [tex]3[/tex] vermelhas, [tex]3[/tex] pretas e assim por diante.
Depois de colocadas [tex]1300[/tex] bandeirinhas, qual o número total daquelas de cor preta que foram colocadas?

Solução

Vamos dividir a nossa análise em duas partes:
(1) Inicialmente, vamos contar as bandeirinhas que foram utilizadas obedecendo rigorosamente o padrão definido, [tex]1,1,2,2,3,3,etc.[/tex]
(2) Para finalizar, vamos contar as bandeirinhas que, provavelmente, foram utilizadas no final da montagem para completar o total de [tex]1300[/tex] e não obedeceram o padrão estabelecido.

(1) Sendo [tex]x[/tex] a última quantidade de bandeirinhas vermelhas colocadas no barbante de maneira que o padrão tenha sido respeitado, o número total de bandeirinhas vermelhas utilizadas foi:
[tex]\qquad 1+2+3+ \dots +x = \dfrac{(1+x) \cdot x}{2}.[/tex]
Note que as bandeirinhas pretas são colocadas com a mesma configuração das vermelhas, então o total de bandeirinhas pretas também é dado por:
[tex]\qquad 1+2+3+ \dots +x = \dfrac{(1+x) \cdot x}{2}.[/tex]
Assim, até aqui, temos um total de
[tex]\quad \dfrac{(1+x) \cdot x}{2} +\dfrac{(1+x) \cdot x}{2} = (1+x)\cdot x\,\,\,[/tex] bandeirinhas.
Porém, ao resolvermos a equação [tex](1+x)\cdot x=1300[/tex], temos que:
[tex]\qquad x^{2}+x-1300=0[/tex]
[tex]\qquad\Delta=5201[/tex]
[tex]\qquad x= \dfrac {-1\pm\sqrt{5201}}{2}\\ \, [/tex]
[tex]\qquad x\approx\dfrac {-1\pm\ 72,12}{2}\\ \,[/tex]
[tex]\qquad x\approx 35,56 \,\,[/tex] ou [tex]\,\, x \approx -36,56[/tex].
Como a solução negativa da equação não faz sentido, pois [tex]x[/tex] deve ser um número inteiro positivo, vamos descartá-la. Por outro lado, a solução positiva nos mostra que devemos colocar mais de [tex]35[/tex] bandeirinhas de cada cor. Vamos analisar o que ocorre quando a última quantidade de bandeirinhas vermelhas for [tex]35[/tex]. Utilizaremos

[tex] 1+2+3+ \dots +35 = \dfrac{(1+35) \cdot 35}{2}=630[/tex] bandeirinhas vermelhas e
[tex] 630[/tex] bandeirinhas pretas,

ou seja,
totalizando [tex]630 \times 2=1260[/tex] bandeirinhas.

(2) Na próxima arrumação, serão colocadas [tex]36[/tex] bandeirinhas vermelhas, totalizando [tex]1296[/tex] e, para chegar ao valor de [tex]1300[/tex], mais [tex]4[/tex] bandeirinhas pretas.

Assim, o total de bandeirinhas pretas será [tex]634[/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.