.Problemão: Uma prova nada comum

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

[tex]2)[/tex] Use o resultado anterior para provar que [tex]\sqrt{2}\lt 1,41421357.[/tex]

Solução

[tex]1)[/tex]

• Inicialmente, vamos resolver a equação [tex]x=\dfrac{x^2+1}{198}[/tex]:

[tex]\qquad x=\dfrac{x^2+1}{198}[/tex]
[tex]\qquad 198x=x^2+1[/tex]
[tex]\qquad x^2-198x+1=0[/tex]
[tex]\qquad x=\dfrac{198 \pm \sqrt{(-198)^2-4\cdot1\cdot1}}{2}=\dfrac{198 \pm \sqrt {39200}}{2}\\
\qquad x=\dfrac{198 \pm 140\sqrt{2}}{2}=99 \pm 70\sqrt{2}.[/tex]

Fazendo [tex]\boxed{\alpha=99 + 70\sqrt{2}}[/tex] e [tex]\boxed{\beta=99-70\sqrt{2}}[/tex], temos que [tex]\boxed{\alpha + \beta=198}\,[/tex] e [tex]\,\boxed{\alpha \cdot \beta=1}\,.[/tex] (Perceba que não há necessidade de encontrarmos as raízes da equação [tex]x^2-198x+1=0[/tex] para estabelecermos a soma e o produto dessas raízes.)
Observe que, como [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] são soluções da equação [tex]x=\dfrac{x^2+1}{198}[/tex], segue que:

[tex]\qquad \alpha=\dfrac{\alpha^2+1}{198}\gt \dfrac{1}{198}\quad[/tex] e [tex]\quad\beta=\dfrac{\beta^2+1}{198}\gt \dfrac{1}{198}[/tex],
ou seja,
[tex]\qquad \alpha\gt \dfrac{1}{198}\quad[/tex] e [tex]\quad\beta\gt \dfrac{1}{198}.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]

• Por outro lado,

[tex]\qquad \alpha=198-\beta \lt 198-\dfrac{1}{198}=197,99494949\cdots\quad [/tex] e [tex]\quad \beta=198-\alpha \lt 198-\dfrac{1}{198}=197,99494949\cdots\,[/tex],
ou seja,
[tex]\qquad \alpha \lt 197,99494949\cdots\quad [/tex] e [tex]\quad \beta\lt 197,99494949\cdots\,.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]

Logo, por[tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], segue que [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{1}{198} \lt\alpha\;,\; \beta \lt 197,99494949\cdots\, $}\,.[/tex]

[tex]2)[/tex]
Como [tex]\alpha = 99+70\sqrt{2}[/tex], segue que:

[tex] \quad \sqrt{2}=\dfrac{\alpha-99}{70}\lt \dfrac{197,99494949\cdots -99}{70} \approx 1,41421356 \lt 1,41421357.[/tex]
Portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \sqrt{2}\lt 1,41421357$}\,.[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.