Problema
Paulo escreve ordenadamente 40 inteiros consecutivos.
Sabendo-se que a soma dos vinte primeiros números escritos é 110, calcular a soma de todos os quarenta números escritos.
Solução
Observe que, a partir do vigésimo número dentre os 40 consecutivos, temos que os próximos vinte são os anteriores somados um a um com [tex]20[/tex].
Então, se os vinte primeiros são [tex]x,\; x+1,\; x+2,\; …\; ,\; x+19[/tex], os próximos vinte serão:
[tex]\quad (x)+20, \;(x+1)+20, \;(x+2)+20,\; …\;, \;(x+19)+20[/tex].
Assim, como a soma dos vinte primeiros é [tex]110[/tex], a soma dos últimos vinte será [tex]110+(20\cdot 20)=510[/tex] e, dessa forma, a soma [tex]S[/tex] de todos os quarenta números escritos por Paulo é dada por
[tex]\qquad \boxed{S=110+510=620}[/tex].
Mas vamos explicitar os cálculos:
[tex]
\qquad S=x+(x+1)+ (x+2)+\cdots+(x+19)+\\
\qquad \quad +\textcolor{red}{\left[(x+20)+(x+21)+\cdots+(x+39)\right]}\\
\qquad S=x+(x+1)+ (x+2)+\cdots+(x+19)+\\
\qquad \quad +\textcolor{red}{[(x+0+20)+(x+1+20)+\cdots+(x+19+20)]}\\
\qquad S=x+(x+1)+ (x+2)+\cdots+(x+19)+\\
\qquad \quad +\textcolor{red}{\left[x+(x+1)+ (x+2)+\cdots+(x+19)+ \overbrace{20+20+\cdots+20+20}^{20}\right]}\\
\qquad S= \left[x+(x+1)+ (x+2)+\cdots+(x+19)\right]+\\
\qquad \quad +\textcolor{red}{\left[x+(x+1)+ (x+2)+\cdots+(x+19)\right]+20\cdot20}\\
\qquad S= 110+\textcolor{red}{110+400}\\
\qquad S=620.[/tex]
Portanto, a soma dos quarenta números em questão é [tex]620[/tex].
Solução elaborada pelo aluno do PIC-OBMEP Matheus Cesar Vieira Barros, com contribuições dos Moderadores do Blog.