Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(IME) Seja [tex]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] uma função tal que:
[tex]\begin{cases} f(4) = 5 \\ f(x+4)=f(x) \cdot f(4) \end{cases}[/tex]
Qual o valor de [tex]f(-4)[/tex]?
Solução
Primeiro, encontraremos o valor de [tex]f(0)[/tex]:
[tex]\qquad f(0+4)=f(0) \cdot f(4)[/tex]
[tex]\qquad f(4)=f(0) \cdot f(4)[/tex]
[tex]\qquad 5=f(0) \cdot 5[/tex]
[tex]\qquad \boxed{f(0)=1}\,.[/tex]
Utilizando o valor de [tex]f(0)[/tex], podemos encontrar [tex]f(-4)[/tex]:
[tex]\qquad f(-4+4)=f(-4) \cdot f(4)[/tex]
[tex]\qquad f(0)=f(-4) \cdot f(4)[/tex]
[tex]\qquad 1=f(-4) \cdot 5[/tex]
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f(-4)=\dfrac{1}{5}$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.