Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
(XXVII Olimpíada de Mayo – Nivel 2, 2016) No triângulo [tex]ABC[/tex] foram marcados os pontos [tex]D[/tex] e [tex]E[/tex] sobre os lados [tex]\overline{BC}[/tex] e [tex]\overline{ AC}[/tex], respectivamente, tais que [tex]CD=DE=EB=BA[/tex].
Sabendo que o ângulo [tex]A\widehat{C}B[/tex] mede [tex]20^{\circ}[/tex], encontre a medida do ângulo [tex]A\widehat{D}E[/tex].
Lembretes
(i) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é [tex]180^\circ[/tex].
(ii) Todo triângulo isósceles possui os ângulos da base com a mesma medida.
Notações:
– Denotaremos a medida do ângulo de vértice [tex]V[/tex] e definido por dois pontos, digamos [tex]X [/tex] e [tex]Y[/tex], por [tex]X\widehat{V}Y. [/tex]
– Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex], por [tex]\overline{XY}[/tex] e o seu comprimento por [tex]XY[/tex].
Solução
De acordo com os dados do problema, podemos ter o triângulo da figura abaixo.
- Sendo o triângulo [tex]CDE[/tex] isósceles, pois [tex]CD=DE[/tex], pelo [tex]\textbf{Lembrete (ii)}[/tex] temos [tex]D\widehat{E}C=20^{\circ}[/tex]. Pelo [tex]\textbf{Lembrete (i)}[/tex], resulta que [tex]C\widehat{D}E=140^{\circ}[/tex].
- Como [tex]B\widehat{D}C=180^{\circ}[/tex] e o triângulo [tex]BED[/tex] é isósceles, pois [tex]DE=EB[/tex], pelo [tex]\textbf{Lembrete (ii)}[/tex] obtemos que [tex]B\widehat{D}E=D\widehat{B}E=40^{\circ}[/tex]. Novamente, pelo [tex]\textbf{Lembrete (i)}[/tex] temos [tex]B\widehat{E}D=100^{\circ}[/tex].
- Sendo [tex]C\widehat{E}A=180^{\circ}[/tex], temos que [tex]B\widehat{E}A=60^{\circ}[/tex]. Como o triângulo [tex]ABE[/tex] é isósceles, pois [tex]EB=BA[/tex], pelo [tex]\textbf{Lembrete (ii)}[/tex] obtemos que [tex]B\widehat{A}E=60^{\circ}[/tex]. Pelo [tex]\textbf{Lembrete (i)}[/tex] temos [tex]A\widehat{B}E=60^{\circ}[/tex]. Notemos que o triângulo [tex]ABE[/tex] que é isósceles é também equilátero.
- Agora, vamos considerar o triângulo [tex]AED[/tex] e encontrarmos a medida de [tex]A\widehat{D}E[/tex].
Vemos que o triângulo [tex]AED[/tex] é isósceles. Sendo [tex]A\widehat{E}D=160^{\circ}[/tex] e os ângulos [tex]E\widehat{A}D[/tex] e [tex]A\widehat{D}E[/tex] congruentes, então pelo [tex]\textbf{Lembrete (i)}[/tex] temos [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A\widehat{D}E=10^{\circ}$}[/tex].
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