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Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Fácil)
(ONEM, 2004) Para [tex]\boxed{a=\sqrt{23}+ \sqrt{29}}\,[/tex] e [tex]\,\boxed{b=\sqrt{23}- \sqrt{29}}\,[/tex] a soma
[tex]S=\dfrac{\sqrt{23}\left(ab+10 \right)}{a+b}+\dfrac{b+2\sqrt{29}}{a}[/tex]
é um número natural.
Que número é esse?
Lembrete
Diferença de dois quadrados:
[tex]\qquad \qquad \boxed{a^2-b^2=(a+b) \cdot (a-b)}[/tex]
para quaisquer [tex]\, a,b\in\mathbb{R}.[/tex]
Solução
Para facilitar os cálculos, observe que:
- [tex]a+b=\left(\sqrt{23}+ \sqrt{29}\right)+ \left(\sqrt{23}- \sqrt{29}\right)=2\sqrt{23}[/tex]
e, pelo Lembrete,
- [tex]ab=\left(\sqrt{23}+ \sqrt{29}\right)\cdot \left(\sqrt{23}- \sqrt{29}\right)=\left(\sqrt{23}\right)^2- \left(\sqrt{29}\right)^2=23-29=-6.[/tex]
Assim, segue que:
[tex]\qquad S=\dfrac{\sqrt{23}\left(ab+10 \right)}{a+b}+\dfrac{b+2\sqrt{29}}{a}\\
\qquad S=\dfrac{\cancel{\sqrt{23}}\left(-6+10 \right)}{2\,\cancel{\sqrt{23}}}+\dfrac{\left(\sqrt{23}- \sqrt{29}\right)+2\sqrt{29}}{\sqrt{23}+ \sqrt{29}}\\
\qquad S=\dfrac{4}{2}+\dfrac{\sqrt{23}+\sqrt{29}}{\sqrt{23}+ \sqrt{29}}\\
\qquad S=2+1=3.[/tex]
Portanto, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S=\dfrac{\sqrt{23}\left(ab+10 \right)}{a+b}+\dfrac{b+2\sqrt{29}}{a}=3$}[/tex] .
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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