.Problema: Três circunferências

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

(Simulado do Colégio Ari de Sá, Fortaleza) Na figura abaixo, temos três circunferências tangentes entre si duas a duas.

O triângulo com vértices nos centros das circunferências tem lados que medem $6\, cm$ , $7\, cm$ e $9\, cm.$ Qual é a soma dos perímetros (comprimentos) das circunferências?

Solução

Observe a figura a seguir, na qual $a, b, c$ são as medidas, em centímetros, dos raios das três circunferências.

Podemos, então, escrever que:
$\qquad \begin{cases} a+b=6\\ a+c=7\\ b+c=9 \end{cases}\\ \qquad \qquad$ .
Adicionando as três equações, obtemos: $2a+2b+2c=22$, e, dividindo esta última equação por $2$, obtemos $\boxed{a+b+c=11}.$
Por outro lado, a soma dos perímetros das circunferências é dada por:
$\qquad 2\cdot \pi \cdot a+2\cdot \pi \cdot b+2\cdot \pi \cdot c=2\cdot \pi \cdot (a+b+c)= 2\cdot \pi \cdot 11=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$22\pi \ cm$}\,$,
aproximadamente, $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$69\ cm$}\, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.