Problema
Diremos que um número natural é crescente, se seus dígitos são ordenados de forma crescente, da esquerda para a direita.
Por exemplo:
- 1368; 2489; 4679 são números crescentes;
- 3629; 3779; 4560 não são números crescentes.
Quantos números crescentes existem entre 2300 e 2600?
Solução
Como queremos números crescentes entre [tex]2300[/tex] e [tex]2600[/tex], os dois primeiros dígitos dos mesmos devem ser [tex]23[/tex],[tex]~24[/tex] ou [tex]25[/tex] (da esquerda para direta). Logo devemos considerar [tex]3[/tex] casos :
1º Caso: O número crescente é da forma [tex]23AB[/tex] :
Neste caso, [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] são dígitos distintos do conjunto [tex]S = \{4,5,6,7,8,9\}[/tex]. Note que devemos escolher [tex]2[/tex] opções dos números de [tex]S[/tex] e como [tex]B>A[/tex], a ordem de posição no número [tex]23AB[/tex] já é determinada. Logo há [tex]C^{6}_{2} = \dfrac{6!}{4!2!} = \dfrac{6\cdot 5}{2} = 15[/tex] números crescentes para este caso.
2º Caso: O número crescente é da forma [tex]24AB[/tex] :
Neste caso, [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] são dígitos distintos do conjunto [tex]S = \{5,6,7,8,9\}[/tex]. Analogamente, devemos escolher [tex]2[/tex] opções dos números de [tex]S[/tex] para substituir [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], visto que [tex]B>A[/tex] e que a “ordem” já está determinada, concluímos que há [tex]C^{5}_{2} = \dfrac{5!}{3!2!} = \dfrac{5\cdot 4}{2} = 10[/tex] números crescentes para este caso.
3º Caso: O número crescente é da forma [tex]25AB[/tex] :
Neste caso, [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] são dígitos distintos do conjunto [tex]S = \{6,7,8,9\}[/tex]. Observe que devemos escolher [tex]2[/tex] opções dos números de [tex]S[/tex] e como [tex]B>A[/tex], a “ordem” já está determinada, logo há [tex]C^{4}_{2} = \dfrac{4!}{2!2!} = \dfrac{4\cdot 3}{2} = 6[/tex] números crescentes para este último caso.
Portanto, o total é [tex]15+10+6=31[/tex] números crescentes nas condições do enunciado.
Solução elaborada pelo aluno do PIC-OBMEP Angelo Donizeti Lorenconi Junior.