Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
A Sequência de Fibonacci já apareceu anteriormente em nosso Blog (consulte, por exemplo, este problema) e é definida da seguinte forma:
- O primeiro termo, denotado por [tex] F_{1}, [/tex] é igual a [tex] 1; [/tex]
- O segundo termo, representado por [tex] F_{2}, [/tex] também é igual a [tex] 1; [/tex]
- O terceiro termo, representado por [tex] F_{3}, [/tex] é igual a [tex]F_{1}+F_{2}=1+1=2; [/tex]
- O quarto termo, representado por [tex] F_{4}, [/tex] é igual a [tex]3 ;[/tex]
- [tex] F_{5}=5, \, F_{6}=8, \, F_{7}= 13, \, F_{8}= 21[/tex] e assim por diante.
a) Calcule [tex]F_{9} [/tex], [tex]F_{10} [/tex], [tex]F_{11} [/tex] e [tex]F_{12}.[/tex]
b) [tex]F_{2019}[/tex] é par ou ímpar? Justifique.
Solução
a) Observe que:
- [tex]F_{9}=F_{7}+F_{8}=13+21=34;[/tex]
- [tex]F_{10}=F_{8}+F_{9}= 21 + 34=55;[/tex]
- [tex]F_{11}=F_{9}+F_{10}=34+ 55= 89 [/tex]
- [tex] F_{12}=F_{10}+F_{11}=55+89 = 144. [/tex]
e
b) Considere a Sequência de Fibonacci: [tex] 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 … \, [/tex].
Vemos que [tex]F_{1}[/tex] é ímpar e [tex]F_{2}[/tex] é ímpar. Como [tex]F_{3}= F_{1} +F_{2} [/tex], [tex]F_{3}[/tex] é soma de dois ímpares e, portanto, é par.
Por outro lado, [tex]F_{4}=F_{2}+F_{3}[/tex], ou seja, [tex]F_{4}[/tex] é a soma de um ímpar e um par e, portanto, é ímpar.
Ainda, [tex]F_{5} = F_{3} + F_{4},[/tex] ou seja, [tex]F_{5}[/tex] é a soma de um par e de um ímpar e, portanto, é ímpar.
Como a partir do terceiro termo cada termo é a soma dos dois anteriores, percebemos a existência de um padrão com relação à paridade dos termos da sequência que é o seguinte:
[tex]\qquad \qquad \, \, \, [/tex] ímpar, ímpar, par, ímpar, ímpar, par, ímpar, ímpar, par, …, iniciando em [tex]F_{1}[/tex].
Para descobrir se [tex]F_{2019} [/tex] é par ou ímpar, analisaremos a sequência de Fibonacci da seguinte maneira:
- [tex]F_{3}; F_{6}; F_{9}; …[/tex] são pares;
- [tex]F_{1}; F_{4}; F_{7}; …[/tex] são ímpares;
- [tex]F_{2}; F_{5}; F_{8}; …[/tex] são ímpares.
Perceba que "os termos cujos índices são múltiplos de [tex]3[/tex] são pares e os demais termos são ímpares".
Assim, como [tex]2019 = 3 \times 673[/tex], então [tex]2019[/tex] é um índice múltiplo de [tex]3[/tex]; logo, [tex]F_{2019}[/tex] é par.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.