Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Sendo [tex] n [/tex] um número real qualquer e [tex]\boxed{ M = \dfrac {9}{ 2 \cdot \sqrt[3] { \dfrac { n^2}{12} + \dfrac { 82 – n }{3} } }}[/tex], determine o valor máximo que [tex] M [/tex] poderá assumir.
Lembretes
[tex]{\color{#800000}(1)}[/tex] O gráfico de uma função quadrática [tex]h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] dada por [tex]h(x)=ax^2+bx+c,\, a\not=0[/tex], é uma parábola com diretriz paralela ao eixo [tex]Ox[/tex], eixo de simetria paralelo ao eixo [tex]Oy[/tex], sendo sua concavidade voltada para cima se [tex]a\gt 0[/tex] e voltada para baixo se [tex]a\lt0[/tex].
[tex]{\color{#800000}(2)}[/tex] Se [tex]\Delta= b^2-4ac[/tex], as coordenadas do vértice da parábola do gráfico de [tex]h[/tex] são dadas por:
[tex]\qquad \qquad (x_v,y_v)=\bigg(\dfrac{-b}{2a},\dfrac{-\Delta}{4a}\bigg)[/tex],
sendo que [tex]x_v=\dfrac{-b}{2a}\, [/tex] e [tex]\, y_v=\dfrac{-\Delta}{4a}[/tex] indicam, respectivamente:
✓ o ponto de mínimo e o valor mínimo da função [tex]h[/tex], se a concavidade estiver voltada para cima;
✓ o ponto de máximo e o valor máximo da função [tex]h[/tex], se a concavidade estiver voltada para baixo.
Particularmente, se [tex]\Delta \gt 0[/tex], [tex]x_v[/tex] é a média entre as duas raízes de [tex]h[/tex]: [tex]x_v=\dfrac{r_1+r_2}{2}[/tex]
Visualizem as informações fornecidas no lembrete [tex]{\color{#800000}(2)}[/tex], se [tex]\Delta \gt 0[/tex],
clicando no botão abaixo.
Solução
Sejam [tex]n[/tex] um número real e [tex]M= \dfrac{9}{2 \cdot \sqrt[3] {\dfrac{ n^2}{12}+\dfrac{82-n}{3}}}.[/tex]
Para determinar o valor máximo que [tex]M[/tex] assume, vamos analisar inicialmente o seu denominador.
Para isso, seja [tex] y =\dfrac{ n^2}{12}+ \dfrac {82-n}{3} [/tex] e note que podemos reescrever [tex]y[/tex] na seguinte forma:
[tex]\qquad y=\dfrac {n^2}{12}-\dfrac {4n}{12}+\dfrac {328}{12}= \boxed{\dfrac{n^2-4n+328}{12}}\, . [/tex]
Observe que o discriminante [tex]\Delta[/tex] da equação do segundo grau [tex]n^2-4n+328=0\, [/tex] é dado por [tex]\, \Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 328=-1296[/tex]. Como [tex]\Delta \lt 0[/tex], a equação não possui raiz real e, sendo o coeficiente de [tex]n^2[/tex] positivo, conclui-se que [tex]\, n^2-4n+328\gt0[/tex] para todo [tex]n\in\mathbb{R}.[/tex]
Dessa forma, temos que [tex]\fcolorbox{#800000}{#ffffff}{$ \, y\gt 0 \text{ para todo } n\in\mathbb{R}\, $}\, [/tex], o que nos garante que [tex]\fcolorbox{#800000}{#ffffff}{$ \text{o denominador de } M \, \acute{e} \text{ positivo para todo } n\in\mathbb{R}\, $}\, .[/tex]
- Assim, para encontrarmos o valor máximo da fração [tex]M[/tex], basta encontrarmos o valor mínimo de seu denominador, uma vez que o numerador permanece constante.
Note que este valor mínimo ocorre quando [tex]y[/tex] assume seu valor mínimo, dado pela ordenada [tex]y_v[/tex] do vértice da parábola que representa [tex] y [/tex] em função de [tex] n [/tex].
Logo, pelo Lembrete, temos:
[tex] \qquad y_v = \dfrac{-\bigg(\bigg(-\dfrac{4}{12}\bigg)^2-4\cdot \dfrac{1}{12}\cdot \dfrac{ 328}{12}\bigg)}{4\cdot \dfrac{1}{12}} =27[/tex].
Finalmente, o valor máximo de [tex] M [/tex] será dado por:
[tex] \qquad M = \dfrac {9}{ 2 \cdot \sqrt[3]{27}}= \dfrac {9}{6}[/tex],
isto é, [tex] M = \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac {3}{2}$}\, . [/tex]
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